Aufgaben zur Quotientenregel

Welche der angegebenen Ableitungen gehören zu der jeweiligen Funktion?

$f (x) = \frac{2}{3 x}$
- $f^{'} (x) = - \frac{2}{3 x^{2}}$
- $f^{'} (x) = - \frac{2}{3} x^{- 2}$
- $f^{'} (x) = \frac{2}{3 x^{2}}$
- $f^{'} (x) = - \frac{2}{3} x^{2}$
Denke an die Quotientenregel und versuche mit ihrer Hilfe auf die richtige Lösung zu kommen. Der Nenner von $f (x)$ wird hier mit $v (x)$ und der Zähler mit $u (x)$ bezeichnet.
$f (x) = \frac{2}{3 x} = \frac{u (x)}{v (x)}$
Hier:
Ursprungsfunktion:
$f (x) = \frac{2}{3 x}$
Nenner der Ursprungfunktion:
$v (x) = 3 x$
Zähler der Ursprungsfunktion:
$u (x) = 2$
Ableitung des Nenners:
$v^{'} (x) = 3$
Ableitung des Zählers:
$u^{'} (x) = 0$
Setze nun die einzelnen Funktionen in die Quotientenregel ein:
$f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) v (x) - u (v) v^{'} (x)}{(v (x))^{2}}$
$f^{'} (x) = \frac{0 \cdot 3 x - 3 \cdot 2}{(3 x)^{2}}$
$= - \frac{6}{9 x^{2}}$
$= - \frac{2}{3 x^{2}}$
Vergleichst du die Lösung mit den Antwortmöglichkeiten, so siehst du, dass $f ′ (x) = - \frac{2}{3} x^{2}$ nicht stimmen kann, da $x^{2}$ im Zähler steht anstatt im Nenner.
Du siehst auch, dass die Ableitungsfunktion $f^{'} (x) = \frac{2}{3 x^{2}}$ die falsche Lösung ist. Das Minus, das du durch die Anwendung der Quotientenregel erhältst, fehlt hier.
Betrachtest du die Potenzgesetze mit negativen Exponenten näher, so fällt dir auf, dass du das $x^{2}$ der Lösung $f^{'} (x) = - \frac{2}{3 x^{2}}$ in den Zähler ziehen kannst. Dazu kannst du das $\frac{1}{x^{2}}$ auch als $x^{- 2}$ schreiben. Also ist $f^{'} = - \frac{2}{3} x^{- 2}$ ebenso eine Lösung.
Die richtigen Antworten sind:
$f^{'} (x) = - \frac{2}{3 x^{2}} f^{'} (x) = - \frac{2}{3} x^{- 2}$
Die falschen Antworten sind:
$f^{'} (x) = - \frac{2}{3} x^{2} f^{'} (x) = \frac{2}{3 x^{2}}$
Tipp: Beachte neben der Quotientenregel auch das Potenzgesetz zu negativen Exponenten.
$g (x) = \frac{x}{x + 1}$
- $g^{'} (x) = \frac{1}{(x + 1)^{2}}$
- $g^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}$
- $g^{'} (x) = (x + 1)^{- 2}$
- $g^{'} (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$
Berechnung mit der Quotientenregel
Wende die Quotientenregel und passende Umformungen an, um auf die richtigen Lösungen zu kommen. Der Nenner von $g (x)$ wird mit $v (x)$ und der Zähler mit $u (x)$ bezeichnet.
$g (x) = \frac{x}{x + 1} = \frac{u (x)}{v (x)}$
Hier:
Ursprungsfunktion:
$g (x) = \frac{x}{x + 1}$
Zähler der Ursprungsfunktion:
$u (x) = x$
Nenner der Ursprungsfunktion:
$v (x) = x + 1$
Ableitung des Zählers:
$u^{'} (x) = 1$
Ableitung des Nenners:
$v^{'} (x) = 1$
Setze nun die einzelnen Funktionen in die Quotientenregel ein:
$g^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) v (x) - u (x) v^{'} (x)}{(v (x))^{2}}$
$= \frac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^{2}}$
Vereinfache den Zähler.
$= \frac{x + 1 - x}{(x + 1)^{2}}$
Vereinfache den Zähler weiter.
$= \frac{1}{(x + 1)^{2}}$
Die Lösung $g^{'} (x) = \frac{1}{(x + 1)^{2}}$ erhältst du also direkt mit der Quotientenregel.
Überprüfung der übrigen Antwortmöglichkeiten
Um zu überprüfen, ob auch noch andere Antwortmöglichkeiten richtig sind, musst du nun versuchen, dein Ergebnis so umzuformen, dass es mit den anderen Antwortmöglichkeiten übereinstimmt.
Im Nenner steht die erste binomische Formel:
$g^{'} (x) = \frac{1}{(x + 1)^{2}} = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}$
Somit erhältst du nun auch die Lösung $g^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}$ .
Wende nun auf dein Ergebnis der Quotientenregel das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an:
$g^{'} (x) = \frac{1}{(x + 1)^{2}} = 1 \cdot (x + 1)^{- 2} = (x + 1)^{- 2}$
Du erhältst also eine dritte richtige Lösung: $g^{'} (x) = (x + 1)^{- 2}$ .
Überprüfe nun, ob auch die letzte Antwortmöglichkeit $g^{'} (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ richtig ist.
Im Nenner wurde wieder die erste binomische Formel angewandt. Nun musst du noch die Zähler vergleichen.
Die Zähler unterscheiden sich und auch durch Umformen kommst du nicht von $1$ auf $2 x + 1$ . Somit ist die Antwortmöglichkeit $g^{'} (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ falsch. (Falls du auf diese Lösung kommst, solltest du dir die Quotientenregel nochmal genau anschauen, denn dann hast du wahrscheinlich fälschlicherweise im Zähler addiert statt subtrahiert.)
Zusammenfassung
Die richtigen Lösungen sind:
$\begin{array}{rcl} g^{'} (x) & = & \frac{1}{(x + 1)^{2}} \\ g^{'} (x) & = & \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} \\ g^{'} (x) & = & (x + 1)^{- 2} \end{array}$
Die falsche Antwort ist:
$g^{'} (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$
Tipp: Achte auch auf binomische Formeln und das Potenzgesetz zu negativen Exponenten.
$h (x) = \frac{1}{\sin (x)}$
- $h^{'} (x) = - \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$
- $h^{'} (x) = - \cos (x) \cdot \sin^{- 2} (x)$
- $h^{'} (x) = \frac{0}{\cos (x)}$
- $h^{'} (x) = \frac{1}{\cos (x)}$
Denke an die Quotientenregel und versuche mit dem Ausschlussprinzip auf die richtige Lösung zu kommen. Der Zähler von $h (x)$ wird mit $u (x)$ und den Nenner von $h (x)$ wird mit $v (x)$ bezeichnet.
Betrachte den Nenner in der Quotientenregel:
$h (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{u (x)}{v (x)}$
$h^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) v (x) - u (x) v^{'} (x)}{(v (x))^{2}}$
Der Nenner der Ableitung ist also der Nenner der Ursprungsfunktion im Quadrat.
Hier:
Ursprungsfunktion:
$h (x) = \frac{1}{\sin (x)}$
Nenner der Ursprungsfunktion:
$v (x) = \sin (x)$
Nenner der Ableitung:
$(v (x))^{2} = \sin^{2} (x)$
Vergleiche die Nenner aus den Antwortmöglichkeiten mit dem von dir gefundenen Nenner der Ableitung. Du stellst fest, dass die Antwortmöglichkeiten $h^{'} (x) = \frac{1}{\cos (x)}$ und $h^{'} (x) = \frac{0}{\cos (x)} = 0$ im Nenner jeweils $\cos (x)$ stehen haben.
Da $\sin^{2} (x)$ nicht gleich $\cos (x)$ ist und da du auch durch Kürzen nicht von $\sin^{2} (x)$ auf $\cos (x)$ kommst, sind diese beiden Antworten also falsch.
Dir bleiben nun noch die Antwortmöglichkeiten $h^{'} (x) = - \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ und $h^{'} (x) = - \cos (x) \cdot \sin^{- 2} (x)$ . Wende jetzt das Potenzgesetz zu negativen Exponenten an.
$h^{'} (x) = - \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} = - \cos (x) \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} = - \cos (x) \cdot \sin^{- 2} (x)$
Die beiden Antwortmöglichkeiten sind gleich. Prüfe nun, ob es die richtigen Lösungen sind.
Nutze hierfür die Quotientenregel:
$h^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) v (x) - u (x) v^{'} (x)}{(v (x))^{2}}$
$= \frac{0 \cdot \sin (x) - 1 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$
Berechne und ziehe das Minus vor den Bruch.
$= - \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$
Das Ergebnis der Ableitung mit der Quotientenregel zeigt also, dass es die richtigen Lösungen sind.
Die richtigen Antworten sind:
$\begin{array}{rcl} h^{'} (x) & = & - \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \\ h^{'} (x) & = & - \cos (x) \cdot \sin^{- 2} (x) \end{array}$
Die falschen Antworten sind:
$\begin{array}{rcl} h^{'} (x) & = & \frac{1}{\cos (x)} \\ h^{'} (x) & = & \frac{0}{\cos (x)} \end{array}$
Tipp: Betrachte den Nenner der Lösungen. Denke auch an das Potenzgesetz zu negativen Exponenten.

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Berechnung mit der Quotientenregel

Überprüfung der übrigen Antwortmöglichkeiten

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