Aufgaben zur Kugel

Der Rotationskörper $R$, der durch Drehung der skizzierten Figur um die Achse $A$ entsteht, ist die Kombination eines Kegels mit Höhe $h_{Kegel}=4a$ und Radius $r_{Kegel}=3a$ und einer Halbkugel mit Radius $r_{Halbkugel}=3a$.

Das Volumen des Rotationskörpers bestimmt sich hier als Summe der Volumina von Kegel und Halbkugel.

Die Oberfläche des Rotationskörpers ist gegeben als Summe der Mantelfächen von Halbkugel und Kegel.

Berechnung des Volumens

Mit den Formeln für das Volumen eines Kegels und das Volumen einer Halbkugel gilt:

$V_R=V_{Kegel}+V_{Halbkugel}=\frac{1}{3}\cdot r_{Kegel}^2\cdot \pi \cdot h_{Kegel}+\frac{2}{3}\cdot \pi \cdot r_{Halbkugel}^3$

$V_R=\frac{1}{3}\cdot (3a{)}^2\cdot \pi \cdot 4a+\frac{2}{3}\cdot \pi \cdot (3a{)}^3=12\pi a^3+18\pi a^3=30\pi a^3$

$\Rightarrow$ Das Volumen des Rotationskörpers beträgt also $30\pi a^3$.

Somit impliziert $V_R=1l=1.000c{m}^3$ folgende Bedingung an $a$:

$1.000c{m}^3=30\pi a^3\Rightarrow a^3=\frac{100c{m}^3}{3\pi }\Rightarrow a=\sqrt[3]{\frac{100}{3\pi }}cm\approx \mathrm{2,197}cm$

Berechnung der Oberfläche

Mit den Formeln für die Mantelfläche eines Kegels und die Mantelfläche einer Halbkugel gilt:

$O_R=M_{Kegel}+M_{Halbkugel}=r_{Kegel}\cdot \pi \cdot s_{Kegel}+2\cdot r_{Halbkugel}^2\cdot \pi$,

wobei sich die Mantellinie $s$ als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreicks mit Radius und Höhe als Katheten darstellt.

$O_R=3a\cdot \pi \cdot \sqrt{(3a{)}^2+(4a{)}^2}+2\cdot (3a{)}^2\cdot \pi =3a\cdot \pi \cdot 5a+18a^2\cdot \pi =33\cdot \pi a^2$

$\Rightarrow$ Die Oberfläche des Rotationskörpers beträgt also $33\pi a^2$.