Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

(1)

Berechne mit der 1. Ableitung von $f$ den Steigungswert für $x=0$.

(2)

Berechne zunächst die 2. Koordinate des Punktes $A$

Damit ist $A$ eine Nullstelle und die x-Achse Tangente, wenn $f^{\prime }(5)=0$.

Alternative Überlegung:

Eine Nullstelle hat die x-Achse als Tangente, wenn es sich um eine doppelte Nullstelle handelt.

Nachweis, dass $x=5$ eine doppelte Nullstelle von $f$ ist, durch die Polynomdivision: $(-x^3+9x^2-15x-25):(x-5{)}^2$

Damit gilt:

Somit ist $x=5$ eine doppelte Nullstelle von $f$ und die Tangente im Punkt $A$ ist die x-Achse.

(3)

Berechne zunächst die 2. Koordinate des Punktes $B$:

Berechne die Steigung an dem Punkt:

Für die Geradengleichung der Tangente $t$ in $B$ gilt:$$t:{\displaystyle \frac{y-y_B}{x-x_B}=f^{\prime }(x_B)t:{\displaystyle \frac{y-0}{x+1}=-36|\cdot (x+1)t:y=-36x-36}}$$