Mathe Geometrie Räumliche Figuren Wichtige Grundkörper Aufgaben zur Kugel

Aufgaben zur Kugel

Eine Bestellung für $500$ Eisenkugeln liegt vor. Jede Kugel soll einen Durchmesser von $1 cm$ haben. Wieviel Eisen braucht der Hersteller? Und könntest du das Eisenstück heben, woraus die Kugeln gegossen werden, wenn du $10 kg$ heben kannst? (Dichte von Eisen: $7,86 \frac{g}{{cm}^{3}}$ ). Runde auf zwei Nachkommastellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel

Berechnung des Volumens.

Die Formel für das Volumen einer Kugel lautet:

V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π

wobei $r$ der Radius der Kugel ist. In dieser Aufgabe ist der Radius $r = 0,5 cm$ , da der Durchmesser $1 cm$ beträgt und der Radius immer die Hälfte des Durchmessers ist. Das heißt das Volumen einer einzelnen Kugel ist:

V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot {0,5}^{3} {cm}^{3} \cdot π = \frac{π}{6} {cm}^{3} .

Damit kannst du nun das Volumen aller $500$ Kugeln berechnen:

V_{a l l e K u g e l n} = 500 \cdot V_{K u g e l} = 500 \cdot \frac{π}{6} {cm}^{3} = \frac{500 π}{6} {cm}^{3}

Berechnung der Masse und Beantwortung der Fragen

Du kennst jetzt sowohl das Volumen der Kugeln ( $V = \frac{500 π}{6} {cm}^{3}$ ) als auch die Dichte von Eisen ( $ρ = 7,86 \frac{g}{{cm}^{3}}$ ) . Mit der Formel für die Dichte kannst du nun die Masse $m$ des benötigten Eisens berechnen:

ρ = \frac{m}{V}

Du kannst jetzt nach der Masse auflösen, indem du mit $V$ multiplizierst:

m = ρ \cdot V

Und nun setzt du die gegebenen Werte ein:

m = 7,86 \frac{g}{{cm}^{3}} \cdot \frac{500 π}{6} {cm}^{3} = 2057,743 \dots g \approx 2,06 kg .

Damit kannst Du die beiden Fragen aus dem Text beantworten:

Der Hersteller braucht $2,06 kg$ Eisen
Ja, du könntest das eingeschmolzene Stück Eisen hochheben, da es genauso viel wie die $500$ Kugen wiegt. Es wiegt also weniger als $10 kg$ .

Berechne zuerst das Volumen einer der Kugeln. Multipliziere dieses mit $500$ , dann hast Du das Volumen aller $500$ Kugeln. Berechne zum Schluss das Gewicht dieser $500$ Kugeln mithilfe der Formel für die Dichte und beantworte damit die Fragen aus dem Text.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org