Aufgaben zu Potenz- und Wurzelfunktionen

$\Rightarrow$ Somit ist der Graph punktsymmetrisch .

Verlauf des Graphen

$\Rightarrow$ Der Graph läuft durch den III und den I Quadranten .

$f(-x)=-160(-x{)}^2$

$f(-x)=-160x^2=f(x)$

$\Rightarrow$ Somit ist der Graph achsensymmetrisch .

Verlauf des Graphen

Überprüfe durch welche Quadranten der Graph verläuft, indem du einen $x$-Wert über 0 und einen unter 0 einsetzt.

$f(2)=-160\cdot 2^2$

$f(2)=-640$

$f(-2)=-160\cdot {(-2)}^2$

$f(-2)=-640$

$\Rightarrow$ Der Graph läuft durch den III. und IV. Quadranten.

Bemerkung: Das ist natürlich ein schrecklich ungenaues Verfahren.

Besser man sagt, dass $x^2$ nie negativ ist und daher $-160x^2$ nie posiitiv ist. Wegen des Definitionsbereichs muss der Graph dann durch den III. und IV. Quadranten laufen.

Wertemenge

Bestimme die Wertemenge:

Es gibt keine Definitionslücken, weshalb man für x jeden Wert einsetzen kann. Die Ergebnisse können aber nur negative Werte oder $0$ sein. Deshalb sind in der Wertemenge alle negativen Werte und die $0$ enthalten.

$W={ℝ}_0^{-}$

Grad

Lese den Grad der Potenzfunktion ab.

$f(x)=-160x^2\Rightarrow n=2$

$f(-x)=\sqrt{2}\cdot {(-x)}^6$

$f(-x)=\sqrt{2}\cdot x^6=f(x)$

$\Rightarrow$ Somit ist der Graph achsensymmetrisch bezüglich der $y$-Achse .

Allgemein sind alle geraden Potenzfunktionen achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Verlauf des Graphen

Überprüfe, durch welche Quadranten der Graph läuft, indem du einen Wert unter $0$ und einen über $0$ einsetzt.

$f(-2)=\sqrt{2}\cdot 64$

$f(-2)\approx \mathrm{90,5}$

$f\left(2\right)\approx \mathrm{90,5}$

$\Rightarrow$ Der Graph verläuft durch den II. und I. Quadranten (oberhalb der $x$-Achse).

Wertemenge

Bestimme die Wertemenge der Funktion:

Es gibt keine Definitionslücke, also kann man jeden Wert für $x$ einsetzen. Das Ergebnis kann aber aufgrund des Exponenten $6$ nicht negativ sein. Also sind in der Wertemenge alle positiven Werte und die $0$ enthalten.

$W={ℝ}_0^{+}$

Grad

Lies den Grad der Potenzfunktion ab:

$f(x)=\sqrt{2}{x}^6\Rightarrow n=6$

Hinweis: $f(x)$ kann man auch als $f(x)=5=5\cdot x^0$ auffassen $(x^0=1)$. Somit ist $f$ tatsächlich eine Potenzfunktion.

$\Rightarrow$ Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Verlauf des Graphen

$\Rightarrow$ Der Graph verläuft durch den II. und I. Quadranten (oberhalb der x-Achse).

Grad

Gib den Grad der Funktion an.

$f(-x)=-25{(-x)}^5$

$f(-x)=25x^5=-f(x)$

$\Rightarrow$ Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Allgemein sind alle ungeraden Potenzfunktionen punktsymmetrisch zum Ursprung.

Verlauf des Graphen

Überprüfe, durch welche Quadranten der Graph läuft, indem du einen $x$-Wert unter $0$ und einen über $0$ einsetzt.

$f(-2)=-25{(-2)}^5$

$f(-2)=800$

$f\left(2\right)=-800$

  $\Rightarrow$   Der Graph verläuft durch den II. und IV. Quadranten.

Wertemenge

Bestimme die Wertemenge.

Es gibt keine Definitionslücken, weshalb man für $x$ jeden Wert einsetzen kann. Das Ergebnis kann jede positive oder negative Zahl sein. Deshalb sind in der Wertemenge alle Zahlen enthalten.

$W=ℝ$

Grad

Lies den Grad der Potenzfunktion ab.

$f(x)=-25x^5\Rightarrow n=5$