Mathe Funktionen Wichtige Funktionstypen und ihre Eigenschaften Quadratische Funktionen - Parabeln Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

Ermitteln Sie die Koeffizienten $a_{2}$ und $a_{1}$ so, dass die Funktion $f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ an den Stellen $x = - 1$ und $x = 0,5$ die gleichen Funktionswerte hat wie die Funktion $g (x) = 2 x - 1$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen

Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g

Die Funktionen $f$ und $g$ sollen für $x = - 1$ und $x = 0,5$ , den gleichen Funktionswert besitzen. Bestimme diese gemeinsamen Punkte, in dem du $x = - 1$ und $x = 0,5$ in $g (x)$ einsetzt.

$g (x) = 2 x - 1$

$g (- 1) = 2 \cdot (- 1) - 1 = - 3$

$\to$ $P_{1} (- 1 | - 3)$

$g (0,5) = 2 \cdot 0,5 - 1 = 0$

$\to$ $P_{2} (0,5 | 0)$

Die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ müssen nun auch auf dem Graphen von $f$ liegen.

Einsetzen der Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ in den Funktionsterm von $f$

$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$

Setze $P_{1} (- 1 | - 3)$ in $f (x)$ ein.

$f (- 1)$	$=$	$- 3$
	↓	$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ einsetzen.
$a_{2} \cdot {(- 1)}^{2} + a_{1} \cdot (- 1) + 3$	$=$	$- 3$
	↓	Vereinfache.
$a_{2} - a_{1} + 3$	$=$	$- 3$

$a_{1}$ und $a_{2}$ müssen also diese Gleichung erfüllen, damit $f (- 1) = - 3$ ist und $P_{1}$ auf dem Graphen von $f$ liegt.

Setze $P_{2} (0,5 | 0)$ in $f (x)$ ein.

$f (0,5)$	$=$	$0$
	↓	$f (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + 3$ einsetzen.
$a_{2} \cdot {(0,5)}^{2} + a_{1} \cdot 0,5 + 3$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$0,25 a_{2} + 0,5 a_{1} + 3$	$=$	$0$

$a_{1} $ und $a_{2} $ müssen also auch diese Gleichung erfüllen, damit $f (0,5) = 0$ ist und $P_{2}$ auf dem Graphen von $f$ liegt.

Gleichungssystem lösen

Nun hast du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten ( $a_{1}$ und $a_{2}$ ) und kannst dieses lösen.

$\begin{array}{rrcl} I) & a_{2} - a_{1} + 3 & = & - 3 \\ I I) & 0,25 a_{2} + 0,5 a_{1} + 3 & = & 0 \end{array}$

Nimm die $I I)$ Gleichung $\cdot 4$ , um sie zu vereinfachen.

$\begin{array}{rrcl} I) & a_{2} - a_{1} + 3 & = & - 3 \\ I I^{'}) & a_{2} + 2 a_{1} + 12 & = & 0 \end{array}$

Wende nun das Additionsverfahren an.

$\begin{array}{rrcll} I) - I I^{'}) : & (a_{2} - a_{1} + 3) - (a_{2} + 2 a_{1} + 12) & = & - 3 - 0 \\ a_{2} - a_{1} + 3 - a_{2} - 2 a_{1} - 12 & = & - 3 \\ - 3 a_{1} - 9 & = & - 3 & | + 9 \\ - 3 a_{1} & = & 6 & | : (- 3) \\ a_{1} & = & - 2 \end{array}$

Jetzt kannst du $a_{1}$ in Gleichung $I)$ , $I I)$ oder $I I^{'})$ einsetzen und nach $a_{2}$ auflösen. Das Ergebnis sollte immer das Gleiche sein.

Einsetzen in $I)$ liefert:

$\begin{array}{rrcl} I) & a_{2} - (- 2) + 3 & = & - 3 \\ a_{2} + 2 + 3 & = & - 3 \\ a_{2} + 5 & = & - 3 & | - 5 \\ a_{2} & = & - 8 \end{array}$

Du hast also jetzt $a_{1}$ und $a_{2}$ bestimmt. Setz die Werte noch in $f$ ein und du bist fertig.

$\Rightarrow$ $f (x) = - 8 x^{2} - 2 x + 3$

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CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann → Was bedeutet das? serlo.org

Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g

Einsetzen der Punkte P1 und P2 in den Funktionsterm von f

Gleichungssystem lösen

Einsetzen der Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ in den Funktionsterm von $f$