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Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

Gegeben sind die quadratischen Funktionen $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ und $g (x) = a x^{2}$ .

Bestimme $a$ so, dass der Graph von $g$ den Graphen von $f$ berührt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berührpunkt von Funktionen berechnen

Um den Berührpunkt berechnen zu können, müssen die Funktionen $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ und $g (x) = a x^{2}$ gleichgesetzt werden.

$f (x)$	$=$	$g (x)$	$- g (x)$
$f (x) - g (x)$	$=$	$0$
	↓	Setze $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ und $g (x) = a x^{2}$ ein.
$(x - 1) (x - 2) - a x^{2}$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere aus.
$x^{2} - 2 x - x + 2 - a x^{2}$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$(1 - a) x^{2} - 3 x + 2$	$=$	$0$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an (oder p-q Formel)
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 - a) \cdot 2}}{2 \cdot (1 - a)}$

Da der Berührpunkt der Funktionen gesucht ist, muss für die Diskriminante $D = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 - a) \cdot 2 = 0$ gelten. Genau dann hat der Terme ein doppelte Nullstelle und $x_{1} = x_{2}$ .

$D$	$=$	$0$
${(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 - a) \cdot 2$	$=$	$0$
$9 - 4 \cdot (1 - a) \cdot 2$	$=$	$0$
$9 - 8 \cdot (1 - a)$	$=$	$0$
$9 - 8 + 8 a$	$=$	$0$
$1 + 8 a$	$=$	$0$	$- 1$
$8 a$	$=$	$- 1$	$: 8$
$a$	$=$	$- \frac{1}{8}$

Wenn $a = - \frac{1}{8}$ gewählt wird, berührt der Graph der Funktion $g (x) = - \frac{1}{8} x^{2}$ den Graphen von $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ .

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