Gemischte Aufgaben zu quadratischen Funktionen

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\to$ Scheitelpunkt: $\mathrm{S}(-2|-9)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.

$f(x)=x^2+4x-5$

Setze $f(x)=0$. Satz von Vieta anwenden.

$0=(\mathrm{x}-1)(x+5)$

$\to$ ${\mathrm{x}}_1=-5;{\mathrm{x}}_2=1$

Schnittpunkt mit der x-Achse

${\mathrm{x}}_1=-5;{\mathrm{x}}_2=1$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

$\to$ ${\mathrm{P}}_{\mathrm{x}1}(-5|0);{\mathrm{P}}_{\mathrm{x}2}\left(1|0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=x^2+4x-5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2+4\cdot 0-5$

$f(0)=-5$

$\to$ ${\mathrm{P}}_y(0|-5)$

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\to$ Scheitelpunkt: $\mathrm{S}(-\frac{1}{2}|\frac{25}{4})$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.

$f(x)=-x^2-x+6$

Setze f(x)=0. Minus ausklammern. Distributivgesetz.

$0=-(x^2+x-6)$

Satz von Vieta anwenden.

$0=-(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+3)$

$\to$ ${\mathrm{x}}_1=2;{\mathrm{x}}_2=-3$

Schnittpunkt mit der x-Achse

${\mathrm{x}}_1=2;{\mathrm{x}}_2=-3$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm{P}}_{\mathrm{x}1}\left(2|0\right);{\mathrm{P}}_{\mathrm{x}2}(-3|0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=-x^2-x+6$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2-0+6$

$f(0)=6$

$\to$ ${\mathrm{P}}_y\left(0|6\right)$

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\to$ Scheitelpunkt: $\mathrm{S}(-2|0)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen, kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.

$f(x)=-x^2-4x-4$

Setze $f(x)=0$. Minus ausklammern. Distributivgesetz.

$0=-(x^2+4x+4)$

Satz von Vieta anwenden.

$0=-\left((x+2)(x+2)\right)$

$\to$ $\mathrm{x}=-2$   $\to$ Doppelte Nullstelle

Schnittpunkt mit der x-Achse

$\mathrm{x}=-2$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm{P}}_{\mathrm{x}}(-2|0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=-x^2-4x-4$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2-4\cdot 0-4$

$f(0)=-4$

$\to$ ${\mathrm{P}}_y(0|-4)$

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\to$ Scheitelpunkt: $\mathrm{S}(-\frac{1}{2}|-\frac{49}{8})$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel. In manchen speziellen Fällen, kann aber auch der Satz von Vieta zu einer schnellen Lösung führen.

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x-6$

Setze $f(x)=0$.

$\to$ ${\mathrm{x}}_1=-4;{\mathrm{x}}_2=3$

Schnittpunkt mit der x-Achse

${\mathrm{x}}_1=-4;{\mathrm{x}}_2=3$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm{P}}_{\mathrm{x}1}(-4|0);{\mathrm{P}}_{\mathrm{x}2}\left(3|0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x-6$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=\frac{1}{2}{0}^2+\frac{1}{2}\cdot 0-6$

$f(0)=-6$

$\to$ ${\mathrm{P}}_y(0|-6)$

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\to$ Scheitelpunkt: $\mathrm{S}\left(4|-3\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-4x+5$

Setze $f(x)=0$. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm{D}=16-4\cdot \frac{1}{2}\cdot 5=16-10=6$

$\to$ 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

$$x_1=\frac{4+\sqrt{6}}{2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}}=4+\sqrt{6}$$

$$x_2=\frac{4-\sqrt{6}}{2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}}=4-\sqrt{6}$$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_1=4+\sqrt{6}$ ; $x_2=4-\sqrt{6}$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm{P}}_{\mathrm{x}1}(4+\sqrt{6}|0);{\mathrm{P}}_{\mathrm{x}2}(4-\sqrt{6}|0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-4x+5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=\frac{1}{2}\cdot 0^2-4\cdot 0+5$

$f(0)=5$

$\to$ ${\mathrm{P}}_y\left(0|5\right)$

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\to$ Scheitelpunkt: $\mathrm{S}\left(2|1\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f(x)=x^2-4x+5$

Setze $f(x)=0$. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm{D}=16-4\cdot 5=16-20=-4$

$\to$ keine Lösung

Schnittpunkt mit der x-Achse

$\to$ keine Lösung. Da es keine Nullstelle gibt, kann es auch keinen Schnittpunkt mit der x-Achse geben.

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=x^2-4x+5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2-4\cdot 0+5$

$f(0)=5$

$\to$ ${\mathrm{P}}_y\left(0|5\right)$

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\to$ Scheitelpunkt: $\mathrm{S}(-2|-2)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f(x)=\frac{1}{4}{x}^2+x-1$

Setze $f(x)=0$. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm{D}=1-4\cdot \frac{1}{4}\cdot (-1)=1-1\cdot (-1)=2$

$\to$ 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

$$x_1=\frac{-1+\sqrt{2}}{2\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}}=-2+2\sqrt{2}=2+\sqrt{8}$$

$$x_1=\frac{-1+\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=-2-2\sqrt{2}=2-\sqrt{8}$$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_1=-2+\sqrt{8}$ ; $x_2=-2-\sqrt{8}$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm{P}}_{\mathrm{x}1}(-2+\sqrt{8}|0);{\mathrm{P}}_{\mathrm{x}2}(-2-\sqrt{8}|0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=\frac{1}{4}{x}^2+x-1$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=\frac{1}{4}{0}^2+0-1$

$f(0)=-1$

$\to$ ${\mathrm{P}}_y(0|-1)$

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\to$ Scheitelpunkt: $\mathrm{S}(-\frac{1}{8}|-\frac{81}{16})$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f(x)=4x^2+x-5$

Setze $f(x)=0$. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm{D}=1-4\cdot 4\cdot (-5)=1+80=81$

$\to$ 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

$x_1=\frac{-1+\sqrt{81}}{2\cdot 4}=\frac{-1+9}{8}=\frac{8}{8}=1$

$x_2=\frac{-1-\sqrt{81}}{2\cdot 4}=\frac{-1-9}{8}=\frac{-10}{8}=-\frac{5}{4}$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_1=1;$ $x_2=-\frac{5}{4}$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

$\to P_x(-\frac{5}{4}|0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=4x^2+x-5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2+0-5$

$f(0)=-5$

$\to$ ${\mathrm{P}}_y(0|-5)$

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\to$ Scheitelpunkt: $\mathrm{S}(-\frac{1}{8}|\frac{81}{16})$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f(x)=-4x^2-x+5$

Setze $f(x)=0$. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\mathrm{D}={(-1)}^2-4\cdot (-4)\cdot 5=1-(-80)=1+80=81$

$\to$ 2 Lösungen

Mitternachtsformel anwenden.

$x_1=\frac{1+\sqrt{81}}{2\cdot (-4)}=\frac{1+9}{-8}=\frac{10}{-8}=-\frac{5}{4}$

$x_2=\frac{1-\sqrt{81}}{2\cdot (-4)}=\frac{1-9}{-8}=\frac{-8}{-8}=1$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_1=-\frac{5}{4};$ $x_2=1$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm{P}}_{\mathrm{x}1}(-\frac{5}{4}|0);{\mathrm{P}}_{\mathrm{x}2}\left(1|0\right)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=-4x^2-x+5$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2-0+5$

$f(0)=5$

$\to$ ${\mathrm{P}}_y\left(0|5\right)$

Quadratische Ergänzung

Um den Scheitelpunkt aus der Scheitelform zu bestimmen, muss eine quadratische Ergänzung mit dem Funktionsterm durchgeführt werden.

$\to$ Scheitelpunkt: $\mathrm{S}\left(1|-\frac{7}{3}\right)$

Nullstellen berechnen

Das Berechnen der Nullstellen funktioniert für quadratische Funktionen allgemein immer mit der Mitternachtsformel.

$f(x)=\frac{1}{3}{x}^2-\frac{2}{3}x-2$

Setze $f(x)=0$. Mitternachtsformel anwenden. Dafür die Diskriminante D berechnen.

$\to$ 2 Lösungen, die sich nach Formel ergeben zu:

$$x_1=\frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{28}{9}}}}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}=1+\sqrt{7}$$

$$x_2=\frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{28}{9}}}}{2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}}=1-\sqrt{7}$$

Schnittpunkt mit der x-Achse

$x_1=1+\sqrt{7};$ $x_2=1-\sqrt{7}$

Wenn man die Nullstellen berechnet hat, folgt daraus, dass der y-Wert 0 sein muss.

${\mathrm{P}}_{\mathrm{x}1}(1+\sqrt{7}|0);{\mathrm{P}}_{\mathrm{x}2}(1-\sqrt{7}|0)$

Schnittpunkt mit der y-Achse

$f(x)=\frac{1}{3}{x}^2-\frac{2}{3}x-2$

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, muss der x-Wert gleich 0 sein.

$f(0)=0^2-0-2$

$f(0)=-2$

$\to$ ${\mathrm{P}}_y(0|-2)$