Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Teilaufgabe (1)

Berechne mit der 1. Ableitung von $f$ den Steigungswert für $x=0$.

$f^{\prime }(x)=-3x^2+18x-15$

$f^{\prime }(0)=-15$

Teilaufgabe (2)

Berechne zunächst die 2. Koordinate des Punktes $A$.

$f(5)=-125+9\cdot 25-15\cdot 5-25=0$

Damit ist $A$ eine Nullstelle und die x-Achse Tangente, wenn $f^{\prime }(5)=0$.

$f^{\prime }(5)=-3\cdot 25+18\cdot 5-15=0$

Alternative Überlegung:

Eine Nullstelle hat die x-Achse als Tangente, wenn es sich um eine doppelte Nullstelle handelt.

Nachweis, dass $x=5$ eine doppelte Nullstelle von $f$ ist, durch eine Polynomdivision.

$(-x^3+9x^2-15x-25):(x-5{)}^2$

$\begin{array}{l}(-x^3+9x^2-15x-25):(x^2-10x+25)=-x-1\\ \phantom{(}\underline{-x^3+10x^2-25x}\\ \phantom{(-x^3}-x^2+10x-25\\ \phantom{(-x^3+}\underline{-x^2+10x-25}\\ \phantom{(-x^3+9x^2-15x-}0\end{array}$

Damit gilt:$f(x)=-(x+1)(x-5{)}^2$.

Somit ist $x=5$ eine doppelte Nullstelle von $f$ und die Tangente im Punkt $A$ ist die x-Achse.

Teilaufgabe (3)

Berechne zunächst die 2. Koordinate des Punktes $B$:

$f(-1)=+1+9\cdot 1+15-25=0$

$B(-1|0)$

$f^{\prime }(-1)=-3-18-15=-36$

Für die Geradengleichung der Tangente $t$ in $B$ gilt:

$$t:{\displaystyle \frac{y-y_B}{x-x_B}=f^{\prime }(x_B)}$$

$$t:{\displaystyle \frac{y-0}{x+1}=-36|\cdot (x+1)}$$

$t:y=-36x-36$