Aufgaben zum Newtonschen Näherungsverfahren

Du sollst das Newton-Verfahren verwenden, um $\pi$ zu bestimmen. Das Newton-Verfahren dient dazu, Nullstellen von Funktionen zu bestimmen. Zunächst benötigst du also eine Funktion $f(x)$, die $\pi$ als Nullstelle hat, also $f(\pi )=0$ erfüllt.

Erinnere dich, dass $\sin (\pi )=0$. Ein guter Kandidat ist also $f(x)=\sin (x)$. (Es gibt unendlich viele weitere Mögllichkeiten, dies ist nur die einfachste.)

Im Newton-Verfahren wendest du Iterationen der Rekursionsformel

an. Berechne dafür die Ableitung von $f$, sie lautet $f^{\prime }(x)=\cos (x)$. Die Rekursionsformel des Newton-Verfahren für diese Aufgabe lautet also

Alternative: Du kannst dir die folgenden Rechnungen einfacher machen, wenn du dich an folgenden Zusammenhang aus der Trigonometrie erinnerst:

Die Lösung wird allerdings den ausführlichen Weg präsentieren.

Erstelle nun eine Wertetabelle, um den Startwert für das Verfahren in die Nähe der Nullstelle zu bringen. Erinnere dich, dass $\pi \approx 3$.

In der Tat liegt die Nullstelle $\pi$ zwischen 3 und 4, denn dort wechselt der Sinus sein Vorzeichen.

Wähle einen Startwert. Jeder Startwert im Intervall $[3;4[$ ist sinnvoll, z.B. $x_0=3$. Setze diesen in die Rekursionsformel ein:

Setze den Wert wiederholt in die Rekursionsformel ein, bis du die gewünschte Genauigkeit erhältst:

Du siehst, dass sich in den letzten beiden Iterationen die ersten sieben Nachkommastellen nicht geändert haben. Du hast daher sogar eine (mindestens) sechs Nachkommastellen genaue Lösung gefunden, genauer als verlangt.

Somit erhältst du, dass $\sin (\mathrm{3,141593})\approx 0$, und damit auch $\pi \approx \mathrm{3,141593}$.