Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

Bei einer Sportveranstaltung wird ein Dopingtest durchgeführt. Wenn ein Sportler gedopt hat, dann fällt der Test zu 99 $%$ positiv aus.

Hat ein Sportler aber nicht gedopt, zeigt der Test trotzdem zu 5% ein positives Ergebnis an. Aus Erfahrung weiß man, dass 20 $%$ der Sportler gedopt sind.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dopingprobe positiv ausfällt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Ereignisse
Lege die Ereignisse fest.
$P : =$ "Positives Testergebnis"
$D : =$ "Sportler hat gedopt"
Gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeiten
In der Angabe findest du bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass ein Sportler gedopt hat, ist $P (P | D) = 99 % = 0,99$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass ein Sportler nicht gedopt hat ist $P (P | D) = 5 % = 0,05$ .
Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat, ist $P (D) = 20 % = 0,20$ .
Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit
Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, also $P (P)$ .
$P (P) = P (P | D) \cdot P (D) + P (P | D) \cdot P (D)$
Rechne mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus. Berechne dazu zunächst die noch fehlende Wahrscheinlichkeit $P (D)$ . Dies ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von D, also $P (D) = 1 - P (D)$ .
$P (P) = 0,99 \cdot 0,20 + 0,05 \cdot (1 - 0,20)$ $\begin{array}{l} = 0,198 + 0,04 \\ = 0,238 \\ = 23,8 % \end{array}$
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl der Sportler gedopt hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gedopter Sportler ein negatives Testergebins erhält, also P $(P | D)$ .
Verwende einen Satz über die Summe bedingter Wahrscheinlichkeiten.
$P (P | D) = 1 - P (P | D)$
$P (P | D) = 1 - 0,99 = 0,01$
Ergebnis
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gedopter Sportler ein negatives Testergebins erhält, beträgt 1 %.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat, wenn seine Dopingprobe negativ ausgefallen ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt ist, unter der Bedingung, dass der Dopingtest negativ ausgefallen ist, ist $P (D | P)$ .
Der Satz von Bayes besagt:
$P (D | P) = \frac{P (P | D) \cdot P (D)}{P (P)}$
Entnehme zur Berechnung von $P (D | P)$ aus den Teilaufgaben a) und b) die schon berechneten Wahrscheinlichkeiten $P (P | D)$ und $P (D)$ . Berechne noch $P (P)$ über das Gegenereignis.
$P (P) = 1 - P (P) = 1 - 0,238 = 0,762$
Setze nun die benötigten Angaben ein.
$P (D | P) = \frac{0,01 \cdot 0,20}{0,762} = 0,0026$
Ergebnis
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt ist, unter der Bedingung, dass der Dopingtest negativ ausgefallen ist, beträgt 0,26 %.

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Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Ereignisse

Gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeiten

Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit

Ergebnis

Ergebnis