Aufgaben zu Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen führen

Löse die Bruchgleichung.

\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x + 3} = \frac{6}{6 + 2 x} - \frac{3}{6 - 3 x}

Tipp: Versuche die Nenner zu faktorisieren und kürze die Brüche anschließend.

Kein Nenner darf $0$ werden, deshalb muss man bestimmte Werte ausschließen.

$x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

$x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3$

$6 + 2 x = 0 \Leftrightarrow x = - 3$

$6 - 3 x = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Es müssen die Zahlen $2$ und $- 3$ ausgeschlossen werden. Daher ist die Definitionsmenge $D = ℚ \ {- 3; 2}$

Für diese Bruchgleichung muss man den Hauptnenner finden. Es bietet sich aber an, zuerst alle Nenner zu faktorisieren.

$\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x + 3}$	$=$	$\frac{6}{6 + 2 x} - \frac{3}{6 - 3 x}$
	↓	Die Nenner auf der linken Seite können nicht mehr faktorisiert werden, rechts allerdings schon.
$\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x + 3}$	$=$	$\frac{6}{2 \cdot (3 + x)} - \frac{3}{3 \cdot (2 - x)}$
	↓	kürzen
$\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x + 3}$	$=$	$\frac{3}{3 + x} - \frac{1}{2 - x}$
	↓	Nun kann man beim letzten Bruch das Minuszeichen vor dem Bruch mit dem Nenner verarbeiten, sodass sich dessen Summanden vertauschen.
$\frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x + 3}$	$=$	$\frac{3}{x + 3} + \frac{1}{x - 2}$

Die Bausteine des Hauptnenners sind damit:

Mit dem Hauptnenner muss nun multipliziert werden und gleich gekürzt werden.

Da $- \frac{1}{2}$ in der Definitionsmenge liegt, lautet die Lösungsmenge::

$L = {- \frac{1}{2}}$

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