Mathe Terme und Gleichungen Gleichungen Bruchgleichungen Textaufgaben zu Bruchgleichungen

Textaufgaben zu Bruchgleichungen

Zum Nenner des Bruchs $\frac{4}{11}$ soll eine Zahl dazu addiert werden und die gleiche Zahl soll vom Nenner des Bruchs $\frac{18}{11}$ subtrahiert werden.

Für welche Zahlen ändert sich der Wert der Summe beider Brüche nicht.

(Gib die Lösungen in aufsteigender Reihenfolge ein)

Gleichung aufstellen

Um das Problem mathematisch zu lösen, musst du zuerst eine passende Gleichung aufstellen. Da eine Zahl gesucht ist, macht es Sinn, diese als Variable $x$ zu bestimmen.

Jetzt muss nur noch der Aufgabentext in eine Gleichung gebracht werden:

Die Nenner der beiden Brüche müssen einmal mit der Zahl $x$ addiert bzw. subtrahiert werden. Du erhältst also den folgenden Term:

$\frac{4}{11 + x} + \frac{18}{11 - x}$

Der Wert der Summe der beiden veränderten Brüche soll gleich sein wie der Wert der Summe der beiden ursprünglichen Brüche. Also muss gelten:

$\frac{4}{11 + x} + \frac{18}{11 - x}$	$=$	$\frac{4}{11} + \frac{18}{11}$
$\frac{4}{11 + x} + \frac{18}{11 - x}$	$=$	$\frac{22}{11}$
$\frac{4}{11 + x} + \frac{18}{11 - x}$	$=$	$2$

Definitionsmenge bestimmen

Als nächstes bestimmt man die Definitionsmenge.

$11 + x = 0 \Leftrightarrow x = - 11$

$11 - x = 0 \Leftrightarrow x = 11$

$D = ℚ \ {- 11, 11}$

Bruchgleichung lösen

Diese Bruchgleichung löst man am Besten, wenn man die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert.

$\frac{4}{11 + x} + \frac{18}{11 - x} = 2$

Der Hauptnenner besteht aus den Bausteinen

$[11 + x]$
$[11 - x]$

$\frac{4}{11 + x} + \frac{18}{11 - x}$	$=$	$2$	$\cdot (11 + x) \cdot (11 - x)$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner $(11 + x) \cdot (11 - x)$ .
$(\frac{4}{11 + x} + \frac{18}{11 - x}) \cdot (11 + x) (11 - x)$	$=$	$2 \cdot (11 + x) (11 - x)$
$\frac{4 \cdot (11 + x) (11 - x)}{11 + x} + \frac{18 \cdot (11 + x) (11 - x)}{11 - x}$	$=$	$2 \cdot (121 - x^{2})$
	↓	Kürze.
$4 \cdot (11 - x) + 18 \cdot (11 + x)$	$=$	$242 - 2 x^{2}$
$44 - 4 x + 198 + 18 x$	$=$	$242 - 2 x^{2}$
$242 + 14 x$	$=$	$242 - 2 x^{2}$	$- 242$
$14 x$	$=$	$- 2 x^{2}$	$+ 2 x^{2}$
$2 x^{2} + 14 x$	$=$	$0$
	↓	$2 x$ ausklammern.
$2 x (x + 7)$	$=$	$0$

Ein Term wird $0$ , wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist.

$2 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$7 - x = 0 \Leftrightarrow x = - 7$

Damit ist die Lösungsmenge der Bruchgleichung: $𝕃 = {- 7,0}$

Addiert man zu den Nennern der gegebenen Brüche die Zahl $- 7$ , ändert sich deren Summe nicht.

Das gleiche gilt, wenn man $0$ im Nenner der beiden Brüche addiert.

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