Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen

Senkrechte Asymptote

$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x+3}}$

Setze den Nenner 0, um die Definitionslücke herauszufinden.

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei x=-3.

Waagrechte Asymptote

$f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x+3}}$

Um die waagrechten Asymptoten zu berechnen, betrachte die Grenzwerte gegen $+\infty$ und $-\infty$.

Grenzwert gegen $+\infty$

${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{2x}{x+3}}$

Klammere x aus.

${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{x}{x}}{\displaystyle \frac{2}{1+\frac{3}{x}}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{2}{1+\underset{\to 0}{\underbrace{\frac{3}{x}}}}}=2$

Grenzwert gegen $-\infty$

${\lim }_{x\to -\infty }{\displaystyle \frac{2x}{x+3}}$

Klammere x aus.

${\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{x}{x}}{\displaystyle \frac{2}{1+\frac{3}{x}}}={\lim }_{x\to \infty }{\displaystyle \frac{2}{1+\underset{\to 0}{\underbrace{\frac{3}{x}}}}}=2$

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y=2.

Wertetabelle

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Senkrechte Asymptote

$f(x)=-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Bringe alles auf einen Nenner.

$f(x)={\displaystyle \frac{-4+3x}{2x}}$

Lies die senkrechte Asymptote ab:

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle x=0.

Waagrechte Asymptote

$f(x)=-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Betrachte die Grenzwerte gegen $+\infty$ und $-\infty$, um waagrechte Asymptoten herauszufinden.

Grenzwert $+\infty$

${\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to -\infty }-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Grenzwert $-\infty$

${\lim }_{x\to -\infty }f(x)={\lim }_{x\to -\infty }-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y= ${\displaystyle \frac{3}{2}}$

Wertetabelle

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus: