Aufgaben zum Skalarprodukt -2D

In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.

Richtungsvektoren bestimmen.

Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.

Der zu $f$ gehörende Richtungsvektor ist $v=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)$. Der zu $g$ gehörende Richtungsvektor ist $w=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$.

Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ mit sich selbst und $\overrightarrow{w}$ mit sich selbst:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)=1\cdot 1+5\cdot 5=26$

$\overrightarrow{w}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=1\cdot 1+(-2)\cdot (-2)=5$

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

$\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{v}}=\sqrt{26}$ und $|\overrightarrow{w}|=\sqrt{\overrightarrow{w}\odot \overrightarrow{w}}=\sqrt{5}$

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch $\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)=v_1\cdot w_1+v_2\cdot w_2$.

Hier also:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=1\cdot 1+5\cdot (-2)=1+(-10)=-9$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ ist somit $-9$.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

$${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot |\overrightarrow{w}|}\right)}$$

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

$${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot |\overrightarrow{w}|}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{5}}\right)={\mathrm{142,13}}^{\circ }}$$

Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt $\phi ={\mathrm{142,13}}^{\circ }$.

In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.

Richtungsvektoren bestimmen.

Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.

Der zu $f$ gehörende Richtungsvektor ist $v=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$. Der zu $g$ gehörende Richtungsvektor ist $w=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$.

Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ mit sich selbst und $\overrightarrow{w}$ mit sich selbst:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=1\cdot 1+1\cdot 1=2$

$\overrightarrow{w}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)=2\cdot 2+(-3)\cdot (-3)=13$

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

$\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{v}}=\sqrt{2}$ und $|\overrightarrow{w}|=\sqrt{\overrightarrow{w}\odot \overrightarrow{w}}=\sqrt{13}$

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch $\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)=v_1\cdot w_1+v_2\cdot w_2$.

Hier also:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)=1\cdot 2+1\cdot (-3)=2+(-3)=-1$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ ist somit $-1$.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

$${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot |\overrightarrow{w}|}\right)}$$

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

$${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot |\overrightarrow{w}|}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{13}}\right)={\mathrm{101,31}}^{\circ }}$$

Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt $\phi ={\mathrm{101,31}}^{\circ }$.

In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.

Richtungsvektoren bestimmen.

Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.

Der zu $f$ gehörende Richtungsvektor ist $v=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$. Der zu $g$ gehörende Richtungsvektor ist $w=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$.

Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.

Hier kannst du entweder analog zu den anderen Aufgaben vorgehen, oder du erkennst, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Das siehst du daran, dass das Skalarprodukt $0$ ergibt.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ mit sich selbst und $\overrightarrow{w}$ mit sich selbst:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=1\cdot 1+2\cdot 2=5$

$\overrightarrow{w}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=2\cdot 2+(-1)\cdot (-1)=5$

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

$\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{v}}=\sqrt{5}$ und $|\overrightarrow{w}|=\sqrt{\overrightarrow{w}\odot \overrightarrow{w}}=\sqrt{5}$

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch $\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)=v_1\cdot w_1+v_2\cdot w_2$.

Hier also:

$\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=1\cdot 2+2\cdot (-1)=2+(-2)=0$

Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ ist somit $0$.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

$${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot |\overrightarrow{w}|}\right)}$$

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

$${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{v}\odot \overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot |\overrightarrow{w}|}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{0}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}\right)={90}^{\circ }}$$

Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt $\phi ={90}^{\circ }$.