Aufgaben zur Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens

Tipp: Liegt deine Lösung wirklich in der Definitionsmenge?

Definitionsmenge bestimmen

Beide Nenner nehmen für $x=1$ den Wert $0$ an. Das darf nicht passieren. Deshalb muss man die $1$ aus der Definitionsmenge ausschließen.

Für die Definitionsmenge dieser Gleichung folgt:

$D=\mathbb{Q}\backslash \{1\}$.

Bruchgleichung lösen

Es bietet sich hier die Strategie "Über Kreuz multiplizieren" an. Hier sind beide Nenner sogar identisch.

$$\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x-1}}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x-1}}$$.

$|\cdot (x-1)$

$$\frac{{\displaystyle x(x-1)}}{{\displaystyle x-1}}=\frac{{\displaystyle 1(x-1)}}{{\displaystyle x-1}}$$.

Kürzen.

$x=1$

$1$ ist nicht in der Definitionsmenge enthalten und somit auch nicht in der Lösungsmenge.

Also ist $1$ keine Lösung der Gleichung.

An den zwei Graphen kann man erkennen, dass die Gleichung gar keine Lösung hat. Also gilt für die Lösungsmenge $𝕃=\varnothing$.

• $$f(x)=\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x-1}}$$

• $$g(x)=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x-1}}$$.