Aufgaben zu Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen führen

Tipp: Hier kann dir der Artikel Bruchgleichungen lösen helfen. Wenn du dir noch unsicher bist, dann schau mal in den Kurs Bruchgleichungen rein.

Bruchgleichungen lösen

In dieser Lösung wirst du Wissen aus den Artikeln Über Kreuz multiplizieren und Buchgleichungen lösen brauchen.

Du möchtest diese Bruchgleichung lösen:

$${\displaystyle \frac{7}{x}=\frac{1}{3\cdot x}-\frac{5x}{x\cdot (x+1)}}$$.

Definitionsmenge bestimmen

Zum Beginn musst du die Definitionsmenge der Bruchgleichung bestimmen. Diese kannst du bestimmen, indem du die Definitionslücken der Bruchgleichung bestimmst.

Wie du dich vielleicht erinnerst, entsteht eine Lücke genau bei der Zahl, wo einer der Nenner $0$ werden würde. Man darf nämlich nicht durch $0$ teilen.

Setzte nun die einzelnen Nenner nacheinander gleich $0$:

Nenner des ersten Bruchs

$x=0$

Also wird dieser Nenner $0$ für $x=0$

Der Nenner des zweiten Bruchs

$3\cdot x=0$

$|:3$

$x=0$

Also wird dieser Nenner $0$ für $x=0$

Der Nenner des dritten Bruchs

$x\cdot (x+1)=0$

Diese Gleichung gilt, wenn entweder $x=0$ oder $x+1=0$.

Also ist der Nenner des zweiten Bruchs genau dann gleich $0$, wenn entweder $x=0$ oder $x=-1$.

Du erkennst also, dass hier $0$ und $-1$ die Definitionslücken von der Bruchgleichung sind.

Insgesamt ist die Definitionsmenge der Bruchgleichung $D=\mathbb{Q}\backslash \{0,-1\}$.

Gleichung bruchterm-frei machen

Der nächste Schritt ist die Gleichung von Brüchen zu befreien. Dies schafft man, indem man Über Kreuz multipliziert.

Der erste Schritt ist beide Seiten der Gleichung auf jeweils einen gleichen Nenner zu bringen:

$${\displaystyle \frac{7}{x}=\frac{1}{3\cdot x}-\frac{5\cdot x}{x\cdot (x+1)}}$$

$${\displaystyle \frac{7}{x}=\frac{x+1}{3\cdot x\cdot (x+1)}-\frac{3\cdot 5\cdot x}{3\cdot x\cdot (x+1)}}$$

Jetzt subtrahierst du die beiden Brüche auf der rechten Seite der Bruchgleichung voneinander:

$${\displaystyle \frac{7}{x}=\frac{x+1-3\cdot 5\cdot x}{3\cdot x\cdot (x+1)}}$$

$${\displaystyle \frac{7}{x}=\frac{-14\cdot x+1}{3\cdot x\cdot (x+1)}}$$

Dann multplizierst du die Gleichung mit den beiden Nennern der Brüche:

$${\displaystyle \frac{7}{x}=\frac{-14\cdot x+1}{3\cdot x\cdot (x+1)}}$$

$|\cdot 3\cdot x\cdot (x+1)$ und $\cdot x$

$7\cdot 3\cdot x\cdot (x+1)=x\cdot (-14\cdot x+1)$

Hier teilt man durch $x$. Dies darf man, da $x=0$ nicht in der Definitionsmenge liegt.

$7\cdot 3\cdot x\cdot (x+1)=x\cdot (-14\cdot x+1)$

$|:x$

$7\cdot 3\cdot (x+1)=-14\cdot x+1$

Als letzter Schritt löst du nach x auf:

$21\cdot x+21=-14\cdot x+1$

$|+14\cdot x-21$

$35\cdot x=-20$

$|:35$

$${\displaystyle x=-\frac{20}{35}=-\frac{4}{7}}$$

Also ist die Lösungsmenge der Bruchgleichung $L=\{-\frac{4}{7}\}$ und die Definitionsmenge ist $D=\mathbb{Q}\backslash \{0,-1\}$.