Aufgaben zur Nullstellenform

Bestimmung der Nullstellenform

Verwende das Vorgehen aus dem Artikel Nullstellenform zur Bestimmung der Nullstellenform:

Zuerst musst du die Nullstellen des Graphen bestimmen.

Du siehst vielleicht, dass eine Nullstelle bei $x_1=-1$ existiert und eine weitere bei $x=-3$. Die Vielfachheit ist jeweils $1$. Falls du hier Probleme hast, schau nochmal in den Artikel zu Nullstellen.

Die Funktion hat also zwei unterschiedliche Nullstellen der Vielfachheit $1$. Dies entspricht dem 1. Fall des Vorgehens aus dem Artikel über die Nullstellenform.

Die Funktionsgleichung ist also von der Form:

mit dem Öffnungsfaktor $a$.

Als Nächstes ist $a$ zu bestimmen. Dafür gibt es zwei verschiedene Varianten:

1. Variante

Der Öffnungsfaktor kann ausgehend vom Scheitelpunkt $S(-2|-1)$ und dem Punkt $P(-1|0)$ abgelesen werden.

Du erhältst $a=1$.

Die Nullstellenform der Funktion $f$ lautet also:

$f(x)=1\cdot (x+1)\cdot (x+3)$.

2. Variante

Die Nullstellenform ist, abgesehen von $a$, bereits gefunden. Sie lautet:

Setzt du jetzt einen Punkt ein, der auf dem Graphen liegt, aber keine Nullstelle ist, so kannst du die Gleichung nach $a$ auflösen.

Du kannst am Graphen sehen, dass der Punkt $P(0|3)$ auf diesem liegt und keine Nullstelle ist. Setze also $P(0|3)$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $a$ auf.

Teilst du beide Seiten der Gleichung durch $3$, erhältst du $a=1$.

Damit ist die Nullstellenform gegeben durch:

.