Aufgaben zu Grenzwerten und Asymptoten

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Bestimme das Verhalten der Funktion $f$ für $x \to - \infty$ und für $x \to \infty$ .
$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtungen
Verhalten der Funktion für $x \to - \infty$ bzw. $x \to + \infty$
Allgemeine Informationen und Erklärungen zum Thema Grenzwert findest du im Artikel Grenzwertbetrachtung.
$\lim_{x \to - \infty} f (x) = ?$
Setze $f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$ ein.
$\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{x + 1} = ?$
Entsprechend natürlich auch:
$\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{x + 1} = ?$
Berechnung von $\lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{x + 1}$ und $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{x + 1}$
Zur Berechnung der Grenzwerte kann man auf verschiedene Arten vorgehen:
Methode 1: Ausklammern und Kürzen der höchsten $x$ -Potenz des Nenners
Methode 2: Polynomdivision
Methode 3: Anwenden der Regel von L'Hospital

$f (x) = \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtungen
Verhalten für $x \to + \infty$
$f (x)$ $=$ $\frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 4}$
↓
Grenzwert gegen $+ \infty$ bilden.
$=$ $\lim_{x \to + \infty} f (x)$
↓
Zählergrad < Nennergrad
$\Rightarrow \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 4} = 0^{+}$
Verhalten für $ x \to - \infty x$
$f (x)$ $=$ $\frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 4}$
↓
Grenzwert gegen $- \infty$ bilden.
$=$ $\lim_{x \to - \infty} f (x)$
↓
Zählergrad < Nennergrad
$\Rightarrow \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 4} = 0^{-}$

$f (x) = \frac{- 3 x + 2}{4 x - 5}$

$f (x) = \frac{- 3 x + 2}{4 x - 5}$
Grenzwert gegen $+ \infty$ bilden.
$\lim_{x \to + \infty} \frac{\overset{\to - \infty}{\overset{⏞}{\overset{\to - \infty}{\overset{⏞}{- 3 x}} + 2}}}{\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{4 x}} - 5}}} =$
Satz von l'Hospital anwenden.
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{- 3}{4} = - 0,75$
$f (x) = \frac{- 3 x + 2}{4 x - 5}$
Grenzwert gegen $- \infty$ bilden.
$\lim_{x \to - \infty} \frac{\overset{\to + \infty}{\overset{⏞}{\overset{\to + \infty}{\overset{⏞}{- 3 x}} + 2}}}{\underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{\underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{4 x}} - 5}}} =$
Satz von l'Hospital anwenden.
$= \lim_{x \to + \infty} \frac{- 3}{4} = - 0,75$
Alternativen:
Du kannst natürlich auch einfach durch $x$ kürzen:
$\lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 2}{4 x - 5} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{2}{x}}{4 - \frac{5}{x}} = - \frac{3}{4}$ , da $\lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x} = 0$ ist.

Wenn du die Regel mit den höchsten Exponenten kennst, erhältst du genauso den Grenzwert: der höchste Exponent ist oben und unten eins, der Grenzwert ist also der Quotient der Vorfaktoren $- 3$ und $4$ .

$f (x) = 2 + \frac{5}{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtungen
Verhalten für $x \to + \infty$
$f (x)$ $=$ $2 + \frac{5}{x}$
↓
Grenzwert gegen $+ \infty$ bilden.
$\lim_{x \to + \infty} 2 + \underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{5}{\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{x}}}}}$ $=$ $2$
Verhalten für $ x \to - \infty x$
$f (x)$ $=$ $2 + \frac{5}{x}$
↓
Grenzwert gegen $- \infty$ bilden.
$\lim_{x \to - \infty} 2 + \underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{5}{\underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{x}}}}}$ $=$ $2$

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$f (x)$	$=$	$\frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 4}$
	↓	Grenzwert gegen $+ \infty$ bilden.
	$=$	$\lim_{x \to + \infty} f (x)$
	↓	Zählergrad < Nennergrad

$f (x)$	$=$	$\frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 4}$
	↓	Grenzwert gegen $- \infty$ bilden.
	$=$	$\lim_{x \to - \infty} f (x)$
	↓	Zählergrad < Nennergrad

$f (x)$	$=$	$2 + \frac{5}{x}$
	↓	Grenzwert gegen $+ \infty$ bilden.
$\lim_{x \to + \infty} 2 + \underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{5}{\underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{x}}}}}$	$=$	$2$

Aufgaben zu Grenzwerten und Asymptoten

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