Aufgaben zum Kegel

Berechne das Volumen eines Kegelstumpfs mit Höhe $h = 2 c m$ , Grundflächenradius $r_{2} = 3 c m$ und Deckelradius $r_{1} = 5 c m$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen eines Kegels

Volumen eines Kegelstumpfes berechnen

Um das Volumen eines solchen Kegelstumpfes zu berechnen, musst du dir vorstellen, dass der Kegel nicht "abgeschnitten" ist, sondern noch seine charakteristische Spitze hat. Dann kann man das gesamte Volumen dieses Kegels berechnen und die Spitze wieder abziehen. Zeichne dazu zuerst eine Skizze des gesamten Kegels!

Deine Skizze sollte ungefähr so aussehen. Wichtig sind die Höhen.

$H = h + h_{2}$ ist die Höhe des gesamten Kegels, $h_{2}$ ist die Höhe der "imaginären" Spitze.

Jetzt musst du zuerst auf die Höhe $h_{2}$ kommen, dafür machst du am besten einen Querschnitt des Kegels.

Berechnung der Höhen $h_{2}$ und $H$

Bei dieser Skizze siehst du, dass es ausreichend ist, nur die rechte Seite des Dreiecks zu betrachten. Außerdem kannst du eine senkrechte Linie auf $r_{1}$ einzeichnen, die genau auf den Endpunkt von $r_{2}$ trifft.

Die rechte Seite deines Querschnitts sollte ungefähr so aussehen.

Du hast nun die Verbindungslinie von $r_{1}$ und $r_{2}$ eingezeichnet (gestrichelt) und erhältst dadurch einen Abschnitt $d$ von $r_{1}$ mit $d = r_{1} - r_{2}$ .

Außerdem kannst du zwei ähnliche Dreiecke erkennen. Einmal das Dreieck rechts unten mit $d$ , $h$ und $φ$ und dann noch das Dreieck oben mit $r_{2}$ , $h_{2}$ und $φ$ .

Versuche nun die bekannten Strecken einzuzeichnen und den Winkel $φ$ zu bestimmen!

Das rechte untere Dreieck hat die Längen $h = 2 c m$ und

$d = r_{1} - r_{2} = 5 c m - 3 c m = 2 c m$ .

Damit hast du ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck. Bei einem gleichschenkligen Dreieck hast du immer zwei gleiche Winkel und du hast zusätzlich noch einen $90 °$ Winkel.

Dadurch kommst du auf:

$180 ° = 90 ° + 2 \cdot φ$

Und erhältst: $φ = 45 °$ .

Durch eine Ähnlichkeitsbetrachtung kannst du nun auch $h_{2}$ berechnen.

Da du zwei ähnliche Dreiecke hast, muss das obere Dreieck auch gleichschenklig sein. Dadurch erhältst du:

$h_{2} = r_{2} = 3 c m$

Berechne nun die gesamte Höhe des Kegels $H$ und das Volumen $V_{g e s}$ des ganzen Kegels mit dem Radius $r_{1}$ und der Höhe $H$ .

Berechnung des gesuchten Volumens

$H = h + h_{2} = 2 c m + 3 c m = 5 c m$

$V_{g e s} = \frac{1}{3} \cdot r_{1}^{2} \cdot π \cdot H$

$V_{g e s} = \frac{1}{3} \cdot (5 c m)^{2} \cdot π \cdot 5 c m \approx 131 c m^{3}$

Von dem Gesamtvolumen $V_{g e s}$ ziehst du nun das Volumen des "imaginären" Kegels $V_{s p i t z e}$ mit der Höhe $h_{2}$ und dem Radius $r_{2}$ ab und erhältst so das Volumen des Kegelstumpfs $V_{s t u m p f}$ .

$V_{s t u m p f} = V_{g e s} - V_{s p i t z e}$

$V_{s p i t z e} = \frac{1}{3} \cdot r_{2}^{2} \cdot π \cdot h_{2}$

$V_{s p i t z e} = \frac{1}{3} \cdot (3 c m)^{2} \cdot π \cdot 3 c m \approx 28,3 c m^{3}$

$V_{s t u m p f} = 131 c m^{3} - 28,3 c m^{3} \approx 102,7 c m^{3}$

Das Volumen des Kegelstumpfs beträgt $V_{s t u m p f} \approx 102,7 c m^{3}$ .

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Aufgaben zum Kegel

Volumen eines Kegelstumpfes berechnen

Berechnung der Höhen h2 und H

Berechnung des gesuchten Volumens

Berechnung der Höhen $h_{2}$ und $H$