Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Die Skizze zeigt das Fünfeck $A B C D E$ , das den Grundriss eines Badezimmers darstellt. Es gilt:

$\begin{array}{l} A C = 6,00 m A E = 2,25 m C D = 3,60 m; \\ ∠ C B A = 90^{\circ}; ∠ B A E = 85^{\circ}; \\ ∠ B A C = ∠ D C A = {36,87}^{\circ} . \end{array}$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie jeweils die Länge der Strecken $[A B]$ und $[B C]$ .
$[$ Ergebnisse: $A B = 4,80 m; B C = 3,60 m$ $]$

Teilaufgabe a
Länge der Strecke $A B$ und $B C$ im rechtwinkligen Dreieck ABC mit Hilfe der Trigonometrie:
$\cos (∡ B A C)$ $=$ $\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\cos (36,87 °)$ $=$ $\frac{A B}{6 m}$ $\cdot 6 m$
$A B$ $=$ $\cos (36,87 °) \cdot 6 m$
$A B$ $=$ $4,80 m$
$\sin (∡ B A C)$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (36,87 °)$ $=$ $\frac{B C}{6 m}$ $\cdot 6 m$
$B C$ $=$ $\sin (36,87 °) \cdot 6 m$
$B C$ $\approx$ $3,60 m$
Zeichnen Sie den Grundriss des Badezimmers im Maßstab $1 : 50$ und begründen Sie, dass die Geraden $A B$ und $C D$ parallel zueinander sind.
Teilaufgabe b
Grundriss des Badezimmers im Maßstab $1 : 50$ :
Maßstab $1 : 50$ bedeutet, dass $1 cm$ einer Zeichnung, $50 cm$ in Realität entsprechen (oder $10 cm$ real, entsprechen $0,2 cm$ in der Zeichnung):
$B C = D C = 360 cm : 7,2 cm$
$A C = 600 cm : 12 cm$
$A B = 480 cm : 9,6 cm$
$A E = 225 cm : 4,5 cm$
Zeichnung von $A B = 9,6 cm$
$∡ B A C = 36,87 °$ und $∡ C B A = 90 °$
Schnittpunkt ist der Punkt C.
$∡ B A E = 85 °$
$A E = 4,5 cm (E)$
Da $∡ B A C = ∡ D C A = 36,87 °$ groß ist, sind die beiden Winkel Wechselwinkel und die Strecken $A B ∥ D C$ : Parallele zu $A B$ durch den Punkt C.
$D C = 7,2 cm$
$E D$ verbinden
Ermitteln Sie rechnerisch jeweils die Länge der Strecken $[E C]$ und $[E D]$ .
$[$ Teilergebnis: $∠ D C E = {16,44}^{\circ}$ ; Ergebnisse: $E C = 4,80 m; E D = 1,69 m$ $]$

Teilaufgabe c
Länge der Strecke $E C$ im Dreieck ACE mit dem Kosinussatz:
$∡ C A E = ∡ B A E - ∡ B A C = 85 ° - 36,87 ° = 48,13 °$
${E C}^{2}$ $=$ ${A C}^{2} + {A E}^{2} - 2 \cdot A C \cdot A E \cdot \cos (∡ C A E)$
${E C}^{2}$ $=$ $6^{2} + {2,25}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 2,25 \cdot \cos (48,13 °) m$
${E C}^{}$ $=$ $\sqrt{6^{2} + {2,25}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 2,25 \cdot \cos (48,13 °)} m$
$E C$ $\approx$ $4,80 m$
Länge der Strecke $E D$ :
$∡ E C A$ über den Sinussatz:
Mit Winkel $∡ C A E = 48,13 °$ folgt dann:
$\frac{A E}{\sin (∡ E C A)}$ $=$ $\frac{E C}{\sin (∡ C A E)}$
$\frac{2,25 m}{\sin (∡ E C A)}$ $=$ $\frac{4,80 m}{\sin (48,13 °)}$
$\sin (∡ E C A)$ $=$ $\frac{2,25 m \cdot \sin (48,13 °)}{4,80 m}$
$∡ E C A$ $\approx$ $20,43 °$
Für den Winkel $∡ D C E$ gilt: $∡ D C E = {36,87}^{\circ} - {20,43}^{\circ} = {16,44}^{\circ}$
${E D}^{2}$ $=$ ${E C}^{2} + {C D}^{2} - 2 \cdot E C \cdot C D \cdot \cos (∡ D C E)$
${E D}^{2}$ $=$ ${4,8}^{2} + {3,6}^{2} - 2 \cdot 4,8 \cdot 3,6 \cdot \cos (16,44 °) m$
$E D$ $=$ $\sqrt{{4,8}^{2} + {3,6}^{2} - 2 \cdot 4,8 \cdot 3,6 \cdot \cos (16,44 °)} m$
$E D$ $=$ $1,69 m$

Der Kreis um $D$ mit dem Radius $D E$ schneidet die Strecke $[D C]$ im Punkt $F$ .

Zeichnen Sie den zugehörigen Kreisbogen $\overset{⌢}{E}$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe b) ein und berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $E D F$ .

$[$ Ergebnis: $∠ E D F = {126,42}^{\circ}$ $]$

Im Bereich, der durch die Strecken $[F D]$ und $[D E]$ sowie durch den Kreisbogen $\overset{⌢}{E}$ begrenzt ist, wird eine Dusche errichtet. Die restliche Bodenfläche wird gefliest. Ermitteln Sie den Flächeninhalt $A$ des zu fliesenden Bodens.

Teilaufgabe e
Flächenberechnung des Kreissektors EFD mit Radius $E D :$
$A_{K r e i s s e k t o r}$ $=$ $\frac{α}{360 °} \cdot A_{Kreis}$
$=$ $\frac{α}{360 °} \cdot r^{2} \cdot π$
$=$ $(\frac{126,42 °}{360 °} \cdot {1,69}^{2} \cdot π) m^{2}$
$\approx$ $3,15 m^{2}$
Flächenberechnung des Vielecks $A B C D E$ :
$A_{1} = \frac{1}{2} \cdot E D \cdot C D \cdot \sin (∡ E D C) = \frac{1}{2} \cdot 1,69 m \cdot 3,6 m \cdot \sin (126,42 °) \approx 2,45 m^{2}$
$A_{2} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot A E \cdot \sin (∡ C A E) = \frac{1}{2} \cdot 6 m \cdot 2,25 m \cdot \sin (48,13 °) \approx 5,03 m^{2}$
$A_{3} = \frac{1}{2} \cdot [A B] \cdot [B C] = \frac{1}{2} \cdot 4,8 m \cdot 3,6 m = 8,64 m^{2}$
Die Fläche des Vielecks $A B C D E$ :
$A_{A B C D E} = A_{1} + A_{2} + A_{3} = (2,45 + 5,03 + 8,64) m^{2} \approx 16,12 m^{2}$
(eigentlich: $16,11 m^{2}$ )
Die gesuchte Bodenfläche:
$A_{F l i e ß o d e n} = A_{A B C D E} - A_{S e k t o r} = (16,11 - 3,15) m^{2} \approx 12,96 m^{2}$
Der Punkt $P$ mit $P \in [E F]$ kennzeichnet die Lage des Abflusses der Dusche.
Dabei hat $P$ die minimale Entfernung zum Punkt $D$ .
Zeichnen Sie die Strecke $[E F]$ und den Punkt $P$ in die Zeichnung zu Teilaufgabe b) ein und bestimmen Sie sodann durch Rechnung die Länge der Strecke $[P D]$ .
Teilaufgabe f
Lage des Abflusses:
$E F$ einzeichnen
Fälle das Lot von Punkt D auf die Strecke $E F$ .
Länge der Strecke $[P D]$ :
Da $[E D] = [D E]$ , ist das Dreieck $E F D$ ein gleichschenkliges Dreieck. Damit sind auch die Winkel $∡ F E D = ∡ D F E$ :
$∡ F E D = (180 ° - ∡ E D F) : 2 = (180 ° - 126,42 °) : 2 = 26,79 °$
Im rechtwinkligen Dreieck DEP mit Hilfe der Trigonometrie:
$\sin (∡ P E D)$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (∡ P E D)$ $=$ $\frac{P D}{E D}$
$\sin (26,75 °)$ $=$ $\frac{P D}{1,69 m}$ $\cdot 1,69 m$
$P D$ $=$ $\sin (26,79 °) \cdot 1,69 m$
$P D$ $\approx$ $0,76 m$

Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , deren Grundfläche das Quadrat $A B C D$ ist.

Die Spitze $S$ der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt $M$ der Strecke $[A D]$ .

$N$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[B C]$ .

Es gilt: $A B = 8 cm; ∢ S N M = 55^{\circ}$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $[M N]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $M$ links vom Punkt $N$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}; ω = 45^{\circ} .$
Berechnen Sie sodann die Höhe $[M S]$ der Pyramide $A B C D S$ und die Länge der Strecke $[S N]$ .
$[$ Ergebnisse: $M S = 11,43 cm; S N = 13,95 cm$ $]$
Teilaufgabe a
Schrägbild der Pyramide ABCDS:
$$ $[A N] = 8 cm$ (Schrägbildachse)
$[A D] = [B C] = 4 cm$ , da wir den Verkürzungsfaktor $q = \frac{1}{2}$ haben. Beide liegen in $45 °$ zu $[M N]$ .
(oder: $[A M] = [M D] = [B N] = [N C] = 2 cm$ )
$∡ S N M = 55 °$
$∡ N M S = 90 °$ , da die Spitze senkrecht über $M$ liegt.
Die beiden Geraden (bzw. Halbgeraden) schneiden sich in Punkt $S$ .
Verbinde nun alle Eckpunkte der Pyramide.
Pyramide mit quadratischer Grundfläche
Die Höhe $[M S]$ der Pyramide und die Länge $[S N]$ :
Im rechtwinkligen Dreieck MNS können wir $[M S]$ mithilfe der Trigonometrie berechnen:
$\tan (∡ S N M)$ $=$ $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (∡ S N M)$ $=$ $\frac{M S}{M N}$
$\tan (55 °)$ $=$ $\frac{M S}{8 cm}$
$M S$ $=$ $8 cm \cdot \tan (55 °)$
$M S$ $\approx$ $11,43 cm$
$\cos (∡ S N M)$ $=$ $\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\cos (∡ S N M)$ $=$ $\frac{M N}{S N}$
$\cos (55 °)$ $=$ $\frac{8 cm}{S N}$
$S N$ $=$ $\frac{8 cm}{\cos (55 °)}$
$S N$ $\approx$ $13,95 cm$
Bemerkung: Wir können alternativ $S N$ mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $S M N$ berechnen.

Punkte $P_{n}$ auf der Strecke $[S N]$ mit $P_{n} S (x) = x cm$ und $x \in ℝ$ und $x \in] 0; 13,95 [$ sind die Spitzen von Pyramiden $B C M P_{n}$ . Punkte $F_{n}$ sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen $[P_{n} F_{n}]$ .

Zeichnen Sie für $x = 5$ die Pyramide $B C M P_{1}$ zusammen mit ihrer Höhe [ $P_{1} F_{1}$ ] in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $∡ S P_{1} M$

$[$ Teilergebnis: $M P_{1} = 7,88 cm$ $]$

Zeigen Sie, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $B C M P_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $V (x) = (- 8,75 x + 121,92) {cm}^{3}$

Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von $x$ das zugehörige Volumen der Pyramiden $B C M P_{n}$ mehr als $34 %$ des Volumens der Pyramide $A B C D S$ beträgt.

Teilaufgabe d
Der Wert x, bei dem das $V_{B C M P_{n}}$ mehr als $34 %$ des $V_{A B C D S}$ beträgt:
Das Volumen der Pyramide $A B C D S$ (mit $h = [M S]$ ):
$V_{A B C D S} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot {(8 cm)}^{2} \cdot 11,43 cm \approx 243,84 {cm}^{3}$
Wenn das Volumen von $B C M P_{n}$ mehr als $34 %$ betragen soll, ist
$V_{B C M P_{n}} ⩾ 243,84 {cm}^{3} \cdot 34 % ⩾ 82,91 {cm}^{3}$ .
$V (x)$ $>$ $82,91$
$(- 8,75 x + 121,92)$ $>$ $82,91$
$- 8,75 x + 121,92$ $>$ $82,91$ $- 121,92$
$- 8,75 x$ $>$ $82,91 - 121,92$
$- 8,75 x$ $>$ $- 39,01$ $: (- 8,75)$
↓
Teilung durch eine negative Zahl --> "das Ungleichheitszeichen dreht sich um"
$x$ $<$ $4,46$
$L =$ ${x | x < 4,46}$

Unter den Punkten $P_{n}$ hat der Punkt $P_{2}$ die kürzeste Entfernung zu $M$ .

Zeichnen Sie die Pyramide $B C M P_{2}$ in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ $M P_{2}$ ] sowie den zugehörigen Wert für $x$ .

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${E C}^{2}$	$=$	${C D}^{2} + {E D}^{2} - 2 \cdot C D \cdot E D \cdot \cos (∡ E D F)$
${4,8}^{2}$	$=$	${3,6}^{2} + {1,69}^{2} - 2 \cdot 3,6 \cdot 1,69 \cdot \cos (∡ E D F)$	$+ 2 \cdot 3,6 \cdot 1,69 \cdot \cos (∡ E D F)$
${4,8}^{2} + 2 \cdot 3,6 \cdot 1,69 \cdot \cos (∡ E D F)$	$\approx$	${3,6}^{2} + {1,69}^{2}$	$- {4,8}^{2}$
$2 \cdot 3,6 \cdot 1,69 \cdot \cos (∡ E D F)$	$\approx$	${3,6}^{2} + {1,69}^{2} - {4,8}^{2}$	$: (2 \cdot 3,6 \cdot 1,69)$
$\cos (∡ E D F)$	$=$	$\frac{{3,6}^{2} + {1,69}^{2} - {4,8}^{2}}{2 \cdot 3,6 \cdot 1,69}$
	↓	Anwendung von $\cos^{- 1}$ .
$∡ E D F$	$\approx$	$126,42 °$

${M P_{1}}^{2}$	$=$	${M N}^{2} + {N P_{1}}^{2} - 2 \cdot M N \cdot N P_{1} \cdot \cos (∡ S N M)$
${M P_{1}}^{2}$	$=$	$(8^{2} + {(13,95 - 5)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (13,95 - 5) \cdot \cos (55 °)) cm$
${M P_{1}}^{2}$	$=$	$(8^{2} + {(8,95)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 8,95 \cdot \cos (55 °)) cm$
$M P_{1}$	$=$	$\sqrt{8^{2} + {(8,95)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 8,95 \cdot \cos (55 °)} cm$
$M P_{1}$	$\approx$	$7,87 cm$

$\sin (∡ S N M)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (∡ S N M)$	$=$	$\frac{P_{n} F_{n}}{P_{n} N}$
$\sin (∡ S N M)$	$=$	$\frac{P_{n} F_{n}}{S N - x}$
$\sin (55 °)$	$=$	$\frac{P_{n} F_{n}}{13,95 cm - x}$	$\cdot (13,95 c m - x)$
$P_{n} F_{n}$	$=$	$\sin (55 °) \cdot (13,95 cm - x)$
$P_{n} F_{n}$	$=$	$(\sin (55 °) \cdot 13,95 cm) - (\sin (55 °) \cdot x)$
$P_{n} F_{n}$	$=$	$11,43 cm - 0,82 x cm$

$V_{P y r a m i d e} (x)$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot B C \cdot M N) \cdot P_{x} F_{x}$
	$=$	$(\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8) \cdot (11,43 - 0,82 x)) {cm}^{3}$
	$=$	$(\frac{32}{3} \cdot (11,43 - 0,82 x)) {cm}^{3}$
	$=$	$(121,92 - 8,75 x) {cm}^{3}$
	$=$	$(- 8,75 x + 121,92) {cm}^{3}$

$\cos (∡ B A C)$	$=$	$\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\cos (36,87 °)$	$=$	$\frac{A B}{6 m}$	$\cdot 6 m$
$A B$	$=$	$\cos (36,87 °) \cdot 6 m$
$A B$	$=$	$4,80 m$

$\sin (∡ B A C)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (36,87 °)$	$=$	$\frac{B C}{6 m}$	$\cdot 6 m$
$B C$	$=$	$\sin (36,87 °) \cdot 6 m$
$B C$	$\approx$	$3,60 m$

${E C}^{2}$	$=$	${A C}^{2} + {A E}^{2} - 2 \cdot A C \cdot A E \cdot \cos (∡ C A E)$
${E C}^{2}$	$=$	$6^{2} + {2,25}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 2,25 \cdot \cos (48,13 °) m$
${E C}^{}$	$=$	$\sqrt{6^{2} + {2,25}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 2,25 \cdot \cos (48,13 °)} m$
$E C$	$\approx$	$4,80 m$

$\frac{A E}{\sin (∡ E C A)}$	$=$	$\frac{E C}{\sin (∡ C A E)}$
$\frac{2,25 m}{\sin (∡ E C A)}$	$=$	$\frac{4,80 m}{\sin (48,13 °)}$
$\sin (∡ E C A)$	$=$	$\frac{2,25 m \cdot \sin (48,13 °)}{4,80 m}$
$∡ E C A$	$\approx$	$20,43 °$

${E D}^{2}$	$=$	${E C}^{2} + {C D}^{2} - 2 \cdot E C \cdot C D \cdot \cos (∡ D C E)$
${E D}^{2}$	$=$	${4,8}^{2} + {3,6}^{2} - 2 \cdot 4,8 \cdot 3,6 \cdot \cos (16,44 °) m$
$E D$	$=$	$\sqrt{{4,8}^{2} + {3,6}^{2} - 2 \cdot 4,8 \cdot 3,6 \cdot \cos (16,44 °)} m$
$E D$	$=$	$1,69 m$

$A_{K r e i s s e k t o r}$	$=$	$\frac{α}{360 °} \cdot A_{Kreis}$
	$=$	$\frac{α}{360 °} \cdot r^{2} \cdot π$
	$=$	$(\frac{126,42 °}{360 °} \cdot {1,69}^{2} \cdot π) m^{2}$
	$\approx$	$3,15 m^{2}$

$\sin (∡ P E D)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\sin (∡ P E D)$	$=$	$\frac{P D}{E D}$
$\sin (26,75 °)$	$=$	$\frac{P D}{1,69 m}$	$\cdot 1,69 m$
$P D$	$=$	$\sin (26,79 °) \cdot 1,69 m$
$P D$	$\approx$	$0,76 m$

$\tan (∡ S N M)$	$=$	$\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (∡ S N M)$	$=$	$\frac{M S}{M N}$
$\tan (55 °)$	$=$	$\frac{M S}{8 cm}$
$M S$	$=$	$8 cm \cdot \tan (55 °)$
$M S$	$\approx$	$11,43 cm$

$\cos (∡ S N M)$	$=$	$\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\cos (∡ S N M)$	$=$	$\frac{M N}{S N}$
$\cos (55 °)$	$=$	$\frac{8 cm}{S N}$
$S N$	$=$	$\frac{8 cm}{\cos (55 °)}$
$S N$	$\approx$	$13,95 cm$

$V (x)$	$>$	$82,91$
$(- 8,75 x + 121,92)$	$>$	$82,91$
$- 8,75 x + 121,92$	$>$	$82,91$	$- 121,92$
$- 8,75 x$	$>$	$82,91 - 121,92$
$- 8,75 x$	$>$	$- 39,01$	$: (- 8,75)$
	↓	Teilung durch eine negative Zahl --> "das Ungleichheitszeichen dreht sich um"
$x$	$<$	$4,46$

Teil B

Teilaufgabe a

Teilaufgabe b

Teilaufgabe c

Teilaufgabe d

Teilaufgabe e

Teilaufgabe f

Teilaufgabe a

Teilaufgabe b

Teilaufgabe c

Teilaufgabe d

Teilaufgabe e