Aufgaben zu linearen Gleichungen

1
Löse folgende Gleichungen. Wenn eine Gleichung keine Lösung besitzt, schreibe "-" in das Eingabefeld.
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$3 (a - 4) = 1 - \frac{1}{5} (2 - a)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen auflösen
$3 (a - 4)$ $=$ $1 - \frac{1}{5} (2 - a)$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$3 a - 12$ $=$ $1 - \frac{2}{5} + \frac{1}{5} a$
↓
Fasse zusammen.
$3 a - 12$ $=$ $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} a$ $- \frac{1}{5} a + 12$
$3 a - \frac{1}{5} a$ $=$ $\frac{3}{5} + 12$
↓
Fasse zusammen.
$\frac{14}{5} a$ $=$ $\frac{63}{5}$ $: \frac{14}{5}$
$a$ $=$ $\frac{9}{2} = 4,5$
$L$ $=$ ${4,5}$

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$2,6 (x - 1) = - 6,5 (x + 1) - \frac{1}{2} (x - 7,8)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen auflösen
$2,6 (x - 1)$ $=$ $- 6,5 (x + 1) - \frac{1}{2} (x - 7,8)$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$2,6 x - 2,6$ $=$ $- 6,5 x - 6,5 - \frac{1}{2} x + 3,9$
↓
Fasse zusammen.
$2,6 x - 2,6$ $=$ $- 7 x - 2,6$ $+ 7 x + 2,6$
$9,6 x$ $=$ $0$ $: 9,6$
$x$ $=$ $0$
$L$ $=$ ${0}$

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$3 (4 x - 3) = 4 (3 x - 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Gleichungen.
$3 (4 x - 3)$ $=$ $4 (3 x - 4)$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$12 x - 9$ $=$ $12 x - 16$ $- 12 x$
$- 9$ $=$ $- 16$
↓
Ist nicht lösbar.
$L$ $=$ $\emptyset$

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$3 (4 x + 4) = 4 (3 - 4 x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen von Gleichungen.
$3 (4 x + 4)$ $=$ $4 (3 - 4 x)$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$12 x + 12$ $=$ $12 - 16 x$ $+ 16 x - 12$
$28 x$ $=$ $0$ $: 28$
$x$ $=$ $0$
$L$ $=$ ${0}$

Bestimme die Lösung der Gleichungen.

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$(x - 7) (x + 3) = x (x + 2) + 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen
$(x - 7) \cdot (x + 3)$ $=$ $x (x + 2) + 5$
↓
Multipliziere die Klammern aus.
$x^{2} + 3 x - 7 x - 21$ $=$ $x^{2} + 2 x + 5$ $- x^{2} - 2 x + 21$
$- 6 x$ $=$ $26$ $: (- 6)$
$x$ $=$ $\frac{26}{- 6}$
↓
Kürze mit $2$ .
$x$ $=$ $- \frac{13}{3}$
$L$ $=$ ${- \frac{13}{3}}$

$(x - 2) (3 x - 1) = 3 (x + 1) x - 2 (5 x + 1)$

$[(x + 3) \cdot 2 + 4] \cdot 5 - 10 x = 50$

$3 (2 x - 0,5) = 4 - 2 (1 - x)$

$7 - [- 3 (11 - 5 x)] = 2 x - 1 - (1 - 4 x)$

$- 1 \frac{3}{4} - 0,8 (x - 4) = - \frac{2}{3} (\frac{3}{10} x - 3) + 0,5$

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichung.

(11,25 + 2 \frac{2}{3}) - x = 4,7 - \frac{43}{12}

Löse folgende Gleichung.

$\frac{1}{3} x - \frac{3}{10} + \frac{4}{3} x = - x + \frac{7}{6} - \frac{5}{12} x + 2$

5
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Prüfe durch Einsetzen, ob $x = 1, 2, 3, 4, 5$ eine Lösung der folgenden Gleichung ist:
$\frac{90}{x} = x^{2} + 21$
$1$ ist eine Lösung.
$2$ ist eine Lösung.
$3$ ist eine Lösung.
$4$ ist eine Lösung.
$5$ ist eine Lösung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Für x = 1
$\frac{90}{x}$ $=$ $x^{2} + 21$
↓
Setze ein.
$\frac{90}{1}$ $=$ $1^{2} + 21$
↓
Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$90$ $=$ $1 + 21$
↓
Addiere.
$90 \neq 22 \Rightarrow x = 1$ löst die Gleichung nicht.
Für x = 2
$\frac{90}{x}$ $=$ $x^{2} + 21$
↓
Setze ein.
$\frac{90}{2}$ $=$ $2^{2} + 21$
↓
Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$45$ $=$ $4 + 21$
↓
Addiere.
$45 \neq 25 \Rightarrow x = 2$ löst die Gleichung nicht.
Für x = 3
$\frac{90}{x}$ $=$ $x^{2} + 21$
↓
Setze ein.
$\frac{90}{3}$ $=$ $3^{2} + 21$
↓
Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$30$ $=$ $9 + 21$
↓
Addiere.
$30$ $=$ $30$
$x = 3$ ist eine Lösung der Gleichung.
Für x = 4
$\frac{90}{x}$ $=$ $x^{2} + 21$
↓
Setze ein.
$\frac{90}{4}$ $=$ $4^{2} + 21$
↓
Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$22,5$ $=$ $16 + 21$
↓
Addiere.
$22,5 \neq 37 \Rightarrow x = 4$ löst die Gleichung nicht.
Für x = 5
$\frac{90}{x}$ $=$ $x^{2} + 21$
↓
Setze ein.
$\frac{90}{5}$ $=$ $5^{2} + 21$
↓
Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$18$ $=$ $25 + 21$
↓
Addiere.
$18 \neq 46 \Rightarrow x = 5$ löst die Gleichung nicht.
6
Löse folgende Gleichungen:
Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne $L$ , das Gleichheitszeichen $=$ und die geschweiften Klammern ${}$ an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata $,$ trennen.
Beispiel: Wenn die Lösungsmenge $L = {4,5,9}$ ist, dann gib in das Feld ein: $4,5,9$ .
$4 x + 4 = 3 x + 3$

Nach x auflösen
$4 x + 4$ $=$ $3 x + 3$ $- 3 x$
$x + 4$ $=$ $3$ $- 4$
$x$ $=$ $- 1$
Also ist $L = {- 1} .$

$5 x - 2 = x + 6$

Nach x auflösen
$5 x - 2$ $=$ $x + 6$ $+ 2$
$5 x$ $=$ $x + 8$ $- x$
$4 x$ $=$ $8$ $: 4$
$x$ $=$ $2$
Also ist $L = {2}$ .
Bringe alle $x$ auf die eine und alle Zahlen auf die andere Seite, Dividiere dann, um nach $x$ aufzulösen.

$3 x = x + 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
Nach x auflösen
$3 x$ $=$ $x + 5$ $- x$
$2 x$ $=$ $5$ $: 2$
$x$ $=$ $2,5$
$L$ $=$ ${2,5}$

$2 x = 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
Nach x auflösen
$2 x$ $=$ $4$ $: 2$
$x$ $=$ $2$
$L$ $=$ ${2}$

$7 x - 9 = 2 x + 5$

Nach x auflösen
$7 x - 9$ $=$ $2 x + 5$ $- 2 x$
$5 x - 9$ $=$ $5$ $+ 9$
$5 x$ $=$ $14$ $: 5$
$x = 2,8$
$L = {2,8}$

$\frac{1}{12} x - 5 = 3$

Nach x auflösen
$\frac{1}{12} x - 5$ $=$ $3$ $+ 5$
$\frac{1}{12} x$ $=$ $8$ $\cdot 12$
$x = 96$
$L = {96}$

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$- 8 x + 5 = - 5$

Gleichungen auflösen
$- 8 x + 5$ $=$ $- 5$ $- 5$
$- 8 x$ $=$ $- 10$ $: (- 8)$
$x$ $=$ $\frac{- 10}{- 8}$
$x$ $=$ $\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$
$L = {1,25}$

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$x + 4 = 9 x - (5 - x)$

Gleichungen auflösen
$x + 4$ $=$ $9 x - (5 - x)$
↓
Löse die Klammer auf.
$x + 4$ $=$ $9 x - 5 + x$
↓
Zusammenfassen auf der rechten Seite
$x + 4$ $=$ $10 x - 5$ $- x$
$4$ $=$ $9 x - 5$ $+ 5$
$9$ $=$ $9 x$ $: 9$
$x$ $=$ $1$
Die Lösung ist $L = {1}$ .

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$\frac{1}{24} x = 0$

Gleichungen auflösen
$\frac{1}{24} x$ $=$ $0$ $\cdot 24$
$x$ $=$ $0$
$L = {0}$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$[(x + 3) \cdot 2 + 4] \cdot 5 - 10 x$	$=$	$50$
	↓	Multipliziere die Klammern aus. (hierbei haben runde Klammern eine höhere Priorität als Eckige)
$[2 x + 6 + 4] \cdot 5 - 10 x$	$=$	$50$
	↓	Fasse in der eckigen Klammer zusammen
$[2 x + 10] \cdot 5 - 10 x$	$=$	$50$
	↓	Löse die eckige Klammer auf
$10 x + 50 - 10 x$	$=$	$50$
	↓	Fasse zusammen
$50$	$=$	$50$
	↓	gilt für jedes $x$
$L$	$=$	$G$
	↓	=> Alle Zahlen sind einsetzbar

$- 1 \frac{3}{4} - 0,8 (x - 4)$	$=$	$- \frac{2}{3} (\frac{3}{10} x - 3) + 0,5$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$- 1 \frac{3}{4} - 0,8 x + 3,2$	$=$	$- \frac{1}{5} x + 2 + 0,5$
	↓	Summanden addieren, die man zusammenzählen kann (alle ohne x und alle mit x auf jeder Seite)
$1,45 - 0,8 x$	$=$	$- \frac{1}{5} x + 2,5$	$+ \frac{1}{5} x - 1,45$
	↓	Schreibe alle Terme mit x auf die linke Seite, die anderen Summanden auf die rechte Seite.
$- 0,8 x + \frac{1}{5} x$	$=$	$- 1,45 + 2,5$
	↓	Fasse zusammen
$- 0,6 x$	$=$	$1,05$	$: (- 0,6)$
$x$	$=$	$- 1,75$
$L$	$=$	${- 1,75}$

$\frac{1}{3} x - \frac{3}{10} + \frac{4}{3} x$	$=$	$- x + \frac{7}{6} - \frac{5}{12} x + 2$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\frac{5}{3} x - \frac{3}{10}$	$=$	$- x + \frac{7}{6} - \frac{5}{12} x + 2$	$\cdot HN 60$
	↓	Multipliziere mit dem Hauptnenner 60.
$100 x - 18$	$=$	$- 60 x + 70 - 25 x + 120$
	↓	Fasse die rechte Seite zusammen.
$100 x - 18$	$=$	$- 85 x + 190$	$+ 85 x + 18$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$185 x$	$=$	$208$	$: 185$
$x$	$=$	$\frac{208}{185}$

$3 (a - 4)$	$=$	$1 - \frac{1}{5} (2 - a)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$3 a - 12$	$=$	$1 - \frac{2}{5} + \frac{1}{5} a$
	↓	Fasse zusammen.
$3 a - 12$	$=$	$\frac{3}{5} + \frac{1}{5} a$	$- \frac{1}{5} a + 12$
$3 a - \frac{1}{5} a$	$=$	$\frac{3}{5} + 12$
	↓	Fasse zusammen.
$\frac{14}{5} a$	$=$	$\frac{63}{5}$	$: \frac{14}{5}$
$a$	$=$	$\frac{9}{2} = 4,5$
$L$	$=$	${4,5}$

$2,6 (x - 1)$	$=$	$- 6,5 (x + 1) - \frac{1}{2} (x - 7,8)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2,6 x - 2,6$	$=$	$- 6,5 x - 6,5 - \frac{1}{2} x + 3,9$
	↓	Fasse zusammen.
$2,6 x - 2,6$	$=$	$- 7 x - 2,6$	$+ 7 x + 2,6$
$9,6 x$	$=$	$0$	$: 9,6$
$x$	$=$	$0$
$L$	$=$	${0}$

$3 (4 x - 3)$	$=$	$4 (3 x - 4)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$12 x - 9$	$=$	$12 x - 16$	$- 12 x$
$- 9$	$=$	$- 16$
	↓	Ist nicht lösbar.
$L$	$=$	$\emptyset$

$3 (4 x + 4)$	$=$	$4 (3 - 4 x)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$12 x + 12$	$=$	$12 - 16 x$	$+ 16 x - 12$
$28 x$	$=$	$0$	$: 28$
$x$	$=$	$0$
$L$	$=$	${0}$

$(x - 7) \cdot (x + 3)$	$=$	$x (x + 2) + 5$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$x^{2} + 3 x - 7 x - 21$	$=$	$x^{2} + 2 x + 5$	$- x^{2} - 2 x + 21$
$- 6 x$	$=$	$26$	$: (- 6)$
$x$	$=$	$\frac{26}{- 6}$
	↓	Kürze mit $2$ .
$x$	$=$	$- \frac{13}{3}$
$L$	$=$	${- \frac{13}{3}}$

$(x - 2) (3 x - 1)$	$=$	$3 (x + 1) x - 2 (5 x + 1)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$3 x^{2} - x - 6 x + 2$	$=$	$(3 x + 3) x - 10 x - 2$
	↓	Klammern auflösen
$3 x^{2} - x - 6 x + 2$	$=$	$3 x^{2} + 3 x - 10 x - 2$
	↓	Fasse zusammen
$3 x^{2} - 7 x + 2$	$=$	$3 x^{2} - 7 x - 2$	$- 3 x^{2} + 7 x$
$2$	$=$	$- 2$

$3 (2 x - 0,5)$	$=$	$4 - 2 (1 - x)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$6 x - 1,5$	$=$	$4 - 2 + 2 x$
	↓	Auf jeder Seite so weit wie möglich zusammenfassen und zur Übersicht sortieren: Zuerst die Teile mit Variablen, dann die festen Zahlen.
$6 x - 1,5$	$=$	$2 x + 2$	$- 2 x + 1,5$
	↓	Alle Teilterme mit Variablen auf die eine, die festen Zahlen auf die andere Seite bringen
$4 x$	$=$	$3,5$	$: 4$
	↓	Durch die Zahl vor der Variablen dividieren
$x$	$=$	$\frac{3,5}{4}$
	↓	Zur Darstellung mit natürlichen Zahlen den Bruch erweitern.
$x$	$=$	$\frac{3,5 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{7}{8}$
$L$	$=$	${\frac{7}{8}}$

$7 - [- 3 (11 - 5 x)]$	$=$	$2 x - 1 - (1 - 4 x)$
	↓	Klammern auflösen, beginne mit runden Klammern.
$7 - [- 33 + 15 x]$	$=$	$2 x - 1 - 1 + 4 x$
	↓	Eckige Klammern auflösen.
$7 + 33 - 15 x$	$=$	$2 x - 1 - 1 + 4 x$
	↓	Fasse zusammen.
$40 - 15 x$	$=$	$- 2 + 6 x$	$+ 15 x + 2$
$21 x$	$=$	$42$	$: 21$
$x$	$=$	$2$
$L$	$=$	${2}$

$(11,25 + 2 \frac{2}{3}) - x$	$=$	$4,7 - \frac{43}{12}$
	↓	Wandle die Dezimalzahlen in Brüche um.
$\frac{45}{4} + \frac{8}{3} - x$	$=$	$\frac{47}{10} - \frac{43}{12}$	$- \frac{8}{3}$
	↓	Bringe alle Zahlen auf eine Seite und $x$ auf die andere.
$\frac{45}{4} - x$	$=$	$\frac{47}{10} - \frac{43}{12} - \frac{8}{3}$	$- \frac{45}{4}$
$- x$	$=$	$\frac{47}{10} - \frac{43}{12} - \frac{8}{3} - \frac{45}{4}$
	↓	Bilde den Hauptnenner aller Brüche. Dieser ist hier 60.
$- x$	$=$	$\frac{282}{60} - \frac{215}{60} - \frac{160}{60} - \frac{675}{60}$
$- x$	$=$	$\frac{282 - 215 - 160 - 675}{60}$
$- x$	$=$	$- \frac{768}{60}$	$\cdot (- 1)$
$x$	$=$	$\frac{768}{60}$
	↓	Kürze den Bruch mit 12.
$x$	$=$	$\frac{64}{5}$

$\frac{90}{x}$	$=$	$x^{2} + 21$
	↓	Setze ein.
$\frac{90}{1}$	$=$	$1^{2} + 21$
	↓	Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$90$	$=$	$1 + 21$
	↓	Addiere.

$\frac{1}{12} x - 5$	$=$	$3$	$+ 5$
$\frac{1}{12} x$	$=$	$8$	$\cdot 12$

$- 8 x + 5$	$=$	$- 5$	$- 5$
$- 8 x$	$=$	$- 10$	$: (- 8)$
$x$	$=$	$\frac{- 10}{- 8}$
$x$	$=$	$\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$

$5 x - 2$	$=$	$x + 6$	$+ 2$
$5 x$	$=$	$x + 8$	$- x$
$4 x$	$=$	$8$	$: 4$
$x$	$=$	$2$

$3 x$	$=$	$x + 5$	$- x$
$2 x$	$=$	$5$	$: 2$
$x$	$=$	$2,5$
$L$	$=$	${2,5}$

$7 x - 9$	$=$	$2 x + 5$	$- 2 x$
$5 x - 9$	$=$	$5$	$+ 9$
$5 x$	$=$	$14$	$: 5$

$x + 4$	$=$	$9 x - (5 - x)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x + 4$	$=$	$9 x - 5 + x$
	↓	Zusammenfassen auf der rechten Seite
$x + 4$	$=$	$10 x - 5$	$- x$
$4$	$=$	$9 x - 5$	$+ 5$
$9$	$=$	$9 x$	$: 9$
$x$	$=$	$1$

Aufgaben zu linearen Gleichungen

Für x = 1

Für x = 2

Für x = 3

Für x = 4

Für x = 5