B II

Bestimmen Sie die vollständige Input-Output-Tabelle, wenn $B$ $100$ ME, $M$ $60$ ME und $S$ $50$ ME produzieren.

Wgen eines technischen Defekts kann der Betrieb $S$ nicht mehr an den Markt liefern. Der Betrieb $B$ erhöht seine Marktabgabe auf $\mathrm{67,8}$ ME und der Betrieb $M$ senkt seine Marktabgabe auf $\mathrm{40,4}$ ME. Berechnen Sie, wie viel die einzelnen Betriebe in diesem Fall produzieren.

Im Rahmen einer Marktanalyse wird der Produktionsvektor

$\overrightarrow{x}(t)=\left(\begin{array}{c}100-t\\ 60-2t\\ 50\end{array}\right)$mit $t\in ℝ$, $t\ge 0$ betrachtet. Bestimmen Sie die Marktabgaben der einzelnen Betriebe in Abhängigkeit von $t$ und ermitteln Sie das Intervall der für $t$ sinnvollen Werte. Berechnen Sie außerdem, für welchen Wert von $t$ die Summe der Marktabgaben den Maximalwert annimmt, und bestimmen Sie diesen Maximalwert.

Geben Sie die besondere Lage der Geraden $g_a$ im Koordinatensystem in Abhängigkeit von $a$ an.

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden $g_a$ und $h$ in Abhängigkeit von $a$ und geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes $P$ an.

Für $a=-2$ wird die Ebene $E$ durch die Gerade $g_{-2}$ und den Punkt $B$ festgelegt, welcher nicht auf $g_{-2}$ liegt (Nachweis nicht erforderlich!).

1. Bestimmen Sie je eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene $E$.

[ Mögliches Ergebnis: $E:x_1+2x_2+2x_3\text{–}3=0$ ]

2. Zeigen Sie, dass die Gerade $h$ in der Ebene $E$ liegt.

3. Fertigen Sie eine Skizze an, aus der die gegenseitige Lage der Ebene $E$, der Geraden

$g_{-2}$ und $h$ sowie der Punkte $A,B$ und $P$ erkennbar ist. Verwenden Sie kein

Koordinatensystem.

4. Die Punkte $A,B,C(3|0|0)$ und $D(d_1|d_2|d_3)$ bilden ein Parallelogramm (siehe Skizze).

Bestimmen Sie die Koordinaten von $D$ und überprüfen Sie, ob das Parallelogramm

$ABCD$ in der Ebene $E$ liegt.