2023

Die Aufgabenstellung findest du hier als PDF.

1
Löse folgende Aufgaben
Zeichne die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = \frac{1}{2} x – 1$ in das Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Der $y$ -Achsenabschnitt ist $- 1$ und die Steigung $\frac{1}{2}$ , also $1$ nach rechts und $\frac{1}{2}$ nach oben.

Die Gerade $h$ steht senkrecht auf der Gerade $g$ und verläuft durch den Punkt $P (0 | 1)$ . Gib die Gleichung der Gerade $h$ an.
h: y=__________

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zueinander senkrechte Geraden
$g : y = \frac{1}{2} x - 1$
$h : y = n x + u$
g $⟂$ h $⟺ \frac{1}{2} = - \frac{1}{n}$
$\Rightarrow n = - 2$
Da die Gerade h durch den Punkt $P (0 | 1)$ geht, ist der y-Achsenabschnitt $u = 1$ .
$h : y = - 2 x + 1$

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade, die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten verläuft? Kreuze diese an.
$y = x - 2$
$y = 0,5 x + 1$
$y = – 1 x + 0,5$
$y = – 0,5 x – 3$

Die Gleichung der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten lautet: $y = x$ .
$\Rightarrow$ die Steigung ist 1.
Eine Parallele zu dieser Winkelhalbierenden muss also ebenfalls die Steigung $1$ haben.
Überprüfe für welche der angegeben Geradengleichungen dies gilt.
Nur die Geradengleichung $y = x - 2$ hat die Steigung $1$ .
2
Der Faktor $– 3 a c^{2}$ wurde ausgeklammert.
Vervollständige. $– 27 a^{2} c^{2} + 3 a b^{2} c^{3} = – 3 a c^{2}$ ∙( _________________ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
$– 27 a^{2} c^{2} + 3 a b^{2} c^{3} = – 3 a c^{2} (9 a - b^{2} c)$
Beachte auch das Vorzeichen!
3
Nur eine der folgenden Aussagen ist für jede beliebige Belegung von $x$ wahr. Kreuze diese an.
$x + x = x^{2}$
$2 – 4 x = – 2 x$
$3 x – x = 3$
$x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$
$2 x \cdot 3 x = 6 x$

$x + x = x^{2}$ : Für $x = 1$ ergibt es eine falsche Aussage, denn $2 \neq 1^{2}$
$2 - 4 x = - 2 x$ : Für $x = 0$ ergibt es eine falsche Aussage, denn $2 \neq 0$ .
$3 x - x = 3$ : Für $x = 1$ ergibt es eine falsche Aussage, denn $2 \neq 3.$
$x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ gilt immer, siehe Potenzgesetze.
$2 x \cdot 3 x \neq 6 x$ für $x > 1$ .
Setze Werte in die Gleichungen ein, z.B $0$ , $1$ und $2$ .
4
Gib die Lösungsmenge $L$ der folgenden Gleichung an.
$– 2 x^{2} + 2 \cdot (3 x + x^{2}) = x + 10$
$L$ ={____}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen mit Klammern lösen
$- 2 x^{2} + 2 \cdot (3 x + x^{2})$ $=$ $x + 10$
↓
löse die Klammer auf
$- 2 x^{2} + 6 x + 2 x^{2}$ $=$ $x + 10$
↓
fasse zusammen
$6 x$ $=$ $x + 10$ $- x$
↓
subtrahiere
$5 x$ $=$ $10$ $: 5$
↓
dividiere
$x$ $=$ $2$
Die Lösungsmenge lautet L={ $2$ }.
5
Für die Raute $A B C D$ gilt: $α = 70 °$ . Vervollständige die Zeichnung zur Raute $A B C D$ .

Die freien Schenkel der Winkel schneiden sich in den Punkten $D$ und $B$ . Verbinde die Punkte $A, B, C$ und $D$ zu der gesuchten Raute $A B C D$ .
Trage in den Punkte A und C jeweils nach beiden Seiten einen 35° Winkel $35 ° = \frac{α}{2}$ an.
6
Löse die Klammer auf und fasse so weit wie möglich zusammen.
$(3 – 2 x)^{2} + 4 x =$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
$(3 – 2 x)^{2} + 4 x = 9 - 12 x + 4 x^{2} + 4 x = 9 - 8 x + 4 x^{2}$
$(3 – 2 x)^{2} + 4 x = 4 x^{2} - 8 x + 9$
Löse die Klammer mit der 1. binomischen Formel auf und fasse zusammen,
7
Gegeben sind der Punkt $B (1 | – 2)$ und der Pfeil $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ .
Gib die Koordinaten $x$ und $y$ des Punktes $A (x | y)$ an.
A(_|_)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
$\vec{b} - \vec{A B} - = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \end{array})$
$A (- 2 | - 4) .$
8
Gegeben ist der quadratische Term $T (x) = 4 \cdot (x – 3)^{2} – 1$ . Eine der folgenden Angaben beschreibt den Extremwert, dessen Art und die dazugehörige Belegung von $x$ für diesen Term korrekt. Kreuze diese an
T $_{m a x} = 3$ für $x = – 1$
$T_{m a x} = 4$ für $x = 3$
$T_{m a x} = – 3$ für $x = 4$
$T_{m i n} = 3$ für $x = – 1$
$T_{m i n} = – 1$ für $x = 3$
$T_{m i n} = – 1$ für $x = – 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einfluß der Parameter in der Scheitelform
Allgemeine Scheitelform: $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ mit dem Scheitelpunkt $S (d | e) .$
$T (x) = 4 \cdot (x – 3)^{2} – 1$
$d = 3$ und $e = - 1$ $\Rightarrow$ $S (3 | - 1)$ .
Da $a = 4 > 0$ $\Rightarrow$ Die Parabel ist nach oben geöffnet. Sie hat also im Scheitelpunkt ein Minimum.
$T_{min} = - 1$ für $x = 3$ .
Die Abbildung war nicht gefordert. Sie dient nur der Anschauung.
Vergleiche den Term $T (x)$ mit der allgemeinen Scheitelform.
9
Pia wünscht sich ein Freigehege für ihre Hühner. Ihr Vater zeigt ihr einen Plan (siehe Skizze), bei dem zwei Wände für zwei Seiten des rechteckigen Geheges genutzt werden sollen.
Für die restlichen zwei Seiten sollen insgesamt $15 m$ Zaun vollständig verbaut werden. Gib den Flächeninhalt $A$ des Freigeheges an, wenn es doppelt so lang wie breit sein soll.
Der Flächeninhalt $A$ des Geheges beträgt _________ $m^{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
$A_{Rechteck} = l \cdot b$
$l = 2 \cdot b$
$l + b = 15 m \Rightarrow 2 \cdot b + b = 15 m$
$\Rightarrow b = 5 m, l = 10 m$
$A_{Rechteck} = 50 m^{2}$
10
Die Pyramide $A B C D S$ hat eine quadratische Grundfläche $A B C D$ mit $| A C | = 6 cm$ und die Höhe $| M S | = 3 cm$ . Paul sollte ein Schrägbild dieser Pyramide nach folgenden Vorgaben zeichnen:
Schrägbildachse $A C$ ; $q = 0,5$ ; $ω = 60 °$ .
Die Abbildung zeigt sein Ergebnis.
Eine der Vorgaben hat er dabei nicht korrekt umgesetzt. Beschreibe den Fehler, den er bei der Zeichnung gemacht hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
Paul hat den Verzerrungswinkel ω = 60° nicht richtig eingezeichnet.
11
Ergänze den Nenner, so dass der Bruchterm $T (x)$ die Definitionsmenge D = $ℚ$ \ { $– 3; 0$ }hat.
$T (x) = \frac{5}{□}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme und Definitionsmenge
$T (x) = \frac{5}{x \cdot (x + 3)}$
Wähle den Nenner so, dass dieser $0$ wird, sowohl für $x = 0$ als auch für $x = - 3$ .
12
Gib die Lösungsmenge $L$ der Bruchgleichung $\frac{3}{2} = \frac{6}{x - 2}$ mit $D = ℚ ∖ {2}$ an.
$L = {}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen lösen
$\frac{3}{2}$ $=$ $\frac{6}{x - 2}$ $\cdot (x - 2)$
↓
multipliziere
$\frac{3 (x - 2)}{2}$ $=$ $6$ $\cdot 2$
↓
multipliziere
$3 x - 6$ $=$ $12$ $+ 6$
↓
addiere
$3 x$ $=$ $18$ $: 3$
↓
dividiere
$x$ $=$ $6$
L= { $6$ }
Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner $(x - 2)$ .
Löse dann die lineare Gleichung.
13
Vervollständige die Zeichnung mithilfe des Thaleskreises zu einem bei $C$ rechtwinkligen Dreieck $A B C$ mit einem Flächeninhalt $A$ von $12 {cm}^{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche
$A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$12 c m^{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 c m \cdot h$
$h = 24 c m^{2} : 8 c m = 3 c m$
Zeichne einen Thaleskreis um den Mittelpunkt $M$ der Strecke $A B$ . Zeichne nun eine Parallele zu $A B$ mit dem Abstand $3 c m$ . Die Schnittpunkte $C$ der Parallelen mit dem Thaleskreis sind jeweils Eckpunkte eines Dreiecks $A B C$ mit einem Flächeninhalt von $A = 12 c m^{2} .$
Berechne zuerst die Höhe des Dreiecks.
Zeichne dann eine Hilfslinie, die parallel zu $A B$ ist in der gesuchten Höhe.
Zeichne zuletzt den Punkt $C$ des Dreiecks ein. Hierzu gibt es zwei richtige Lösungswege.
14
Würfel mit einem Volumen von je $8 {cm}^{3}$ sind in drei Schichten mit jeweils $6$ Würfeln in einem Karton gestapelt (siehe Skizze).
Die insgesamt $18$ Würfel füllen die Breite und die Länge des Kartons vollständig aus. Oben bleibt ein Hohlraum mit einer Höhe von $1 cm$ . Gib an, welches Volumen $V$ der Karton hat.
Das Volumen $V$ des Kartons beträgt ${cm}^{3} .$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Würfel
Gesamtvolumen der Würfel: $6 \cdot 8 c m^{3} \cdot 3 = 144 c m^{3}$
Die Grundfläche des Hohlraums hat eine Länge von $3 \cdot 2 c m = 6 c m$ (3 Würfel nebeneinander) und eine Breite von $2 \cdot 2 c m = 4 c m$ (2 Würfel nebeneinander).
Volumen des Hohlraums: $6 c m \cdot 4 c m \cdot 1 c m = 24 c m^{3}$
$V_{K a r t o n} = 168 c m^{3}$
Das Volumen $V$ des Kartons beträgt $168 c m^{3}$ .
Berechne das Gesamtvolumen der Würfel und das Volumen des Hohlraums.
Addiere diese beiden Volumina für das Volumen des Kartons.
15
Christian hat $160$ € gespart und geht mit diesem Geld einkaufen. Er findet eine Jeans und ein Hemd. Die Jeans ist doppelt so teuer wie das Hemd. Nachdem Christian bezahlt hat, verbleiben ihm noch $25$ % seines Ersparten. Gib an, wie teuer die Jeans war.
Die Jeans kostete _________€.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
Ersparnisse: 160€
$160 \hat{=} 100$ %
$1,60 \hat{=} 1$ %
$40 \hat{=} 25$ %
$160 € - 40 € = 120 €$
Christian hat also $120 €$ ausgegeben.
Preis für ein Hemd: $x$
Preis für eine Jeans: $2 x$
$x + 2 x = 120$
$x = 40$
Die Jeans hat also $80 €$ gekostet.
Berechne zuerst wieviel Christian ausgibt.
16
Eine Autobahnbrücke mit sechs Pfeilern (siehe maßstabsgetreue Abbildung) wird saniert.
Am ersten Tag wurden $120 m$ der Fahrbahn erneuert, das sind $20$ % der gesamten Brückenlänge. Anschließend werden die Brückenpfeiler instandgesetzt. Welche Höhe hat der längste Brückenpfeiler? Gib deinen Lösungsweg an.
Der längste Brückenpfeiler ist _________ $m$ hoch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozent
$120 m \hat{=} 20$ %
$600 m \hat{=} 100$ %
$\Rightarrow$ Die Länge der Brücke beträgt $600 m$ .
Miss nun die Länge der Brücke und die Länge des höchsten Pfeilers in der Zeichnung.
Länge Brücke: $9 cm$
Länge des höchsten Pfeilers: $3 cm$
$\Rightarrow$ Die Brücke ist $3$ mal so lang, wie der höchste Pfeiler. $600 m : 3 = 200 m$ .
Der längste Brückenpfeiler ist $200 m$ hoch.
17
Im abgebildeten Diagramm sind jeweils die Mitgliederzahl und die Anzahl der gewonnenen Meisterschaften von fünf Handballvereinen dargestellt.
Eine Aussage zum Diagramm ist falsch. Kreuze diese an.
Verein D hat mehr als doppelt so viele Mitglieder wie Verein A.
Die Vereine C und D haben jeweils mehr als ein Viertel aller Meisterschaften gewonnen.
Verein B hat um $50$ % mehr Mitglieder als Verein A.
Verein D hat halb so viele Meisterschaften gewonnen wie die Vereine B und C zusammen.

Aus dem Diagramm kannst du folgendes ablesen.
Verein A hat $2000$ Mitglieder und Verein $D$ hat $5000$ Mitglieder, also mehr als doppelt so viele wie Verein A.
Alle Vereine zusammen haben
$2 + 2 + 7 + 5 + 3 = 19$ Meisterschaften gewonnen.
$19 : 4 = 4,75$
Verein $C$ hat $7$ Meisterschaften und Verein $D$ hat $5$ Meisterschaften gewonnen. Sie haben also beide mehr als ein Viertel der Meisterschaften gewonnen.
Verein $B$ hat $3000$ Mitglieder, Verein $A$ hat $2000$ Mitglieder.
$2000 \hat{=} 100$ %
$1000 \hat{=} 50$ %
$\Rightarrow$ Verein $B$ hat $50$ % mehr Mitglieder als Verein $A .$
Die Vereine $B$ und $C$ haben zusammen $2 + 7 = 9$ Meisterschaften, der Verein $D$ hat $5$ Meisterschaften gewonnen.
$\Rightarrow$ Verein D hat mehr als halb so viele Meisterschaften gewonnen wie die Vereine $B$ und $C$ zusammen.
18
Gib die Winkelmaße $α$ und $β$ an.
Es gilt: $| A M | = | M C |$ und $g | | h$ .
$α =$ ____°; $β =$ ____°.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Winkel linkes Dreieck: $180 ° - (180 ° - 50 °) - 30 ° = 20 °$
$\Rightarrow$ $α = 180 ° - 20 ° = 160 °$
Dreieck $A C B$ ist gleichschenklig. $\Rightarrow$ Winkel $∢ A C B = 50 °$
$∢ C B M = 180 ° - 50 ° - 90 ° = 40 °$
$\Rightarrow$ $β = 90 ° - 40 ° = 50 °$
19
Max hat mehrmals eine Münze geworfen und die Ergebnisse in einer Tabelle festgehalten.
Gib die relative Häufigkeit des Ergebnisses „Kopf“ an.
Die relative Häufigkeit des Ergebnisses „Kopf“ beträgt

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
$relative Häufigkeit = \frac{absolute Häufigkeit}{Anzahl der Versuche}$
Anzahl Versuche: $20$
absolute Häufigkeit "Kopf": $12$
relative Häufigkeit "Kopf"= $\frac{12}{20}$
Die relative Häufigkeit des Ergebnisse "Kopf" berträgt $\frac{12}{20}$ .
Zähle die Anzahl, wie oft Kopf und Zahl geworfen wurde.
Bilde jeweils die relative Häufigkeit mit der Formel:
$relative Häufigkeit = \frac{absolute Häufigkeit}{Anzahl der Versuche insgesamt}$

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$- 2 x^{2} + 2 \cdot (3 x + x^{2})$	$=$	$x + 10$
	↓	löse die Klammer auf
$- 2 x^{2} + 6 x + 2 x^{2}$	$=$	$x + 10$
	↓	fasse zusammen
$6 x$	$=$	$x + 10$	$- x$
	↓	subtrahiere
$5 x$	$=$	$10$	$: 5$
	↓	dividiere
$x$	$=$	$2$

$\frac{3}{2}$	$=$	$\frac{6}{x - 2}$	$\cdot (x - 2)$
	↓	multipliziere
$\frac{3 (x - 2)}{2}$	$=$	$6$	$\cdot 2$
	↓	multipliziere
$3 x - 6$	$=$	$12$	$+ 6$
	↓	addiere
$3 x$	$=$	$18$	$: 3$
	↓	dividiere
$x$	$=$	$6$