Pflichtteil - Stochastik

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Wichtig: Für die Aufgaben hier gelten andere Nutzungbedingungen.

1
Aufgabe P1
Die Abbildung zeigt den Graphen der
Funktion $f$ mit $f (x) = a \cdot b^{x}$ mit $a > 0$ und $b > 0$ .
Bestimmen Sie die passenden Werte von $a$ und $b$ . (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Anfangswert $a$
Bei $y = 0,5$ verläuft der Graph durch die y-Achse. Damit ist der Anfangswert $a = 0,5$ .
Wachstumsrate $b$
Lies einen weiteren Punkt des Graphen wie $P (1 | 2)$ aus dem Koordinatensystem ab. Wir setzen ihn in die Funktionsgleichung ein:
$f (x)$ $=$ $0,5 \cdot b^{x}$
↓
Punkt einsetzen
$2$ $=$ $0,5 \cdot b^{1}$ $: 0,5$
$4$ $=$ $b$
Damit ist die Funktionsgleichung: $f (x) = 0,5 \cdot 4^{x}$
Bestimme den Anfangswert $a$ mithilfe der Stelle, an der der Graph durch die y-Achse geht.
Bestimme $b$ mit einem weiteren Punkt des Graphen.

Der Graph der in $ℝ$ definierten Funktion $g$ mit $g (x) = 3^{x}$ wird um 2 in negative $x$ -Richtung verschoben.
Zeigen Sie, dass der dadurch entstehende Graph auch durch eine Streckung des Graphen von $g$ in $y$ -Richtung erzeugt werden kann. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Verschiebung um $2$ in negativer $x$ -Richtung
$g (x) = 3^{x + 2}$
Umformung von $g (x)$
$g (x) = 3^{x + 2} = 3^{x} \cdot 3^{2} = 9 \cdot 3^{x}$
Somit kann $g (x)$ auch durch eine Streckung in $y$ -Richtung um den Faktor $9$ erzeugt werden.
Ersetze $x$ durch den Term $x + 2$ in der Funktionsgleichung.
Wende die Potenzgesetze an.
2
Aufgabe P2
Eine ganzrationale Funktion $f$ hat die Nullstellen 1, 2 und -3.
Geben Sie eine Funktionsgleichung für $f$ an. (2 BE)

Funktionsgleichung
Setze die Nullstellen in die Nullstellenform/Linearform ein:
$f (x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x + 3) = x^{3} - 7 x + 6$
Stelle den Funktionsterm in der Nullstellenform/Linearform auf: $f (x) = (x - n_{1}) \cdot (x - n_{2}) . . .$

Für eine Funktion $h$ gilt: $h^{'} (x) = x^{2} - 2 x - 24$
Bestimmen Sie die Extremstellen des Graphen von $h$ . (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Ableitung gleich 0 setzen und Gleichung lösen
$x^{2} - 2 x - 24$ $=$ $0$
↓
$p q - F o r m e l$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{(- 2)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{(- 2)}{2})}^{2} - (- 24)}$
$x_{1,2}$ $=$ $1 \pm \sqrt{{(1)}^{2} + 24}$
$x_{1,2}$ $=$ $1 \pm \sqrt{25}$
$x_{1} = - 4$
$x_{2} = 6$
$2$ . Ableitung
$h^{''} (x) = 2 x - 2$
Hinreichende Bedingung
$h^{''} (- 4) = 2 \cdot (- 4) - 2 = - 10$
$h^{''} (6) = 2 \cdot 6 - 2 = 10$
Da beide ungleich Null sind, sind $x_{1} = - 4$ und $x_{2} = 6$ Extremstellen des Graphen von $h$ .
Setze die Ableitung $h^{'} (x)$ gleich 0 und löse die quadratische Gleichung.
Prüfe dann die hinreichende Bedingung mit Hilfe der $2$ . Ableitung.
3
Aufgabe P3
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = x^{2}$ .
Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$ , für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y = m \cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen. (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Schnittpunkte berechnen
Der Flächeninhalt zwischen den Kurven wird eingeschlossen durch die beiden Schnittpunkte:
$m x$ $=$ $x^{2}$
$0$ $=$ $x^{2} - m x$
$=$ $x (x - m)$
Die Schnittpunkte befinden sich an den Stellen $x = 0$ und $x = m$ . Diese Stellen bilden die Grenzen des Integrals. Da $m < 0$ ist $m$ die linke Grenze.
Fläche berechnen
Die Fläche zwischen den Kurven ist gegeben durch:
"obere Funktion minus untere Funktion"
↓
$A$ $=$ $\int_{m}^{0} m x - x^{2} d x$
↓
Stammfunktion bilden
$=$ ${[\frac{m}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}]}_{m}^{0}$
↓
Grenzen einsetzen
$=$ $0 - (\frac{m^{3}}{2} - \frac{m^{3}}{3})$
$=$ $- \frac{m^{3}}{6}$
Diese Fläche soll $36$ betragen: $- \frac{m^{3}}{6} = 36 \Leftrightarrow m = - 6$
Berechne das Integral der Differenz der beiden Funktionen.
Löse die Gleichung nach $m$ auf.
4
Aufgabe P4
In einer Gemeinde gab es beim Streit um ein neues Bauprojekt eine Befragung. Von den Teilnehmenden waren $70 %$ älter als 35 Jahre. $60 %$ der höchstens 35-Jährigen und $20 %$ der über 35-Jährigen, die an der Befragung teilnahmen, stimmten gegen das Bauprojekt.
Bestimmen Sie das Ergebnis der Befragung. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Ergebnis der Befragung
$X$ steht für: Person ist über 35 Jahre alt
$B$ steht für: Person stimmt für das Bauprojekt
Aus der Aufgabenstellung ergeben sich bereits folgende Werte in der Vierfeldertafel:
Der Anteil der über 35-jährigen Personen ist $0,7$ .
Damit ist der Anteil der höchstens 35-jährigen Personen $0,3$ .
$60 %$ der höchstens 35-Jährigen entsprechen $0,3 \cdot 0,6 = 0,18$ .
$20 %$ der über 35-Jährigen entsprechen $0,2 \cdot 0,7 = 0,14$ .
Damit kann die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt werden.
Der Anteil der Personen, die gegen das Bauprojekt stimmen, steht bei $\overline{B}$ :
$32 %$ der Personen sind gegen das Bauprojekt.
Damit ist das Ergebnis der Befragung, dass die Mehrheit der Personen das Bauprojekt möchten.
Lege eine Vierfeldertafel an mit den Variablen:
$X$ steht für "Person ist über 35 Jahre alt"
$B$ steht für "Person stimmt für das Bauprojekt"
Vervollständige die Vierfeldertafel und bestimme den Anteil der Personen bei $\overline{B}$ .

Bestimmen Sie unter den Teilnehmenden, die für das Projekt stimmten, den Anteil der höchstens 35-Jährigen. (2 BE)

Anteil bestimmen
Der Anteil der Personen, die höchstens $35$ Jahre alt sind und für das Bauprojekt stimmen ist: $0,12$
Der Anteil der Personen, die für das Bauprojekt stimmen, ist: $0,68$
Insgesamt ist der Anteil also: $\frac{0,12}{0,68} \approx 17,65 %$
Bestimme den Anteil der Personen, die höchstens 35 Jahre alt sind und für das Projekt stimmen.
Bilde das Verhältnis zur Anzahl der Personen, die für das Projekt stimmen.
Verwende die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe (a).
5
Aufgabe P5
Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße $X$ festgelegt, welche die drei Werte $2$ , $5$ und $8$ annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt.
$k$
2
5
8
$P (X = k)$
$0,2$
Geben Sie die in der Tabelle fehlenden Werte an.
Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$ . (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Erwartungswert berechnen
Ergänze die fehlenden Werte:
$k$
2
5
8
$P (X = k)$
$0,3$
$0,2$
$0,5$
Der Erwartungswert beträgt:
$E [X]$ $=$ $2 \cdot P (X = 2) + 5 \cdot P (X = 5) + 8 \cdot P (X = 8)$
↓
Einsetzen
$=$ $2 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2 + 8 \cdot 0,5$
↓
Berechnen
$=$ $5,6$
Der Erwartungswert beträgt $5,6$ .
Lies die Werte aus dem Diagramm ab und trage sie in die Tabelle ein.
Berechne den Erwartungswert: $E [X] = 2 \cdot P (X = 2) + . . .$

Das Zufallsexperiment wird zweimal unter gleichen Bedingungen durchgeführt.
Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße $X$ notiert.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt dieser beiden Werte
den Wert $10$ ergibt. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pfadregeln
Wahrscheinlichkeit berechnen
Die einzigen Möglichkeiten für $X$ , wie das Produkt der beiden Durchläufe $10$ ergeben kann, sind:
$2$ und $5$
$5$ und $2$
Die Wahrscheinlichkeit wird mit den Pfadregeln berechnet:
$P (X_{1} \cdot X_{2} = 10)$ $=$ $P (X = 2) \cdot P (X = 5) + P (X = 5) \cdot P (X = 2)$
↓
Einsetzen
$=$ $0,3 \cdot 0,2 + 0,2 \cdot 0,3$
$=$ $0,12$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt $12 %$ .
Bestimme die Möglichkeiten für $X$ , sodass das Produkt $10$ ergibt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit mit den Pfadregeln.

$k$	2	5	8
$P (X = k)$		$0,2$

$k$	2	5	8
$P (X = k)$	$0,3$	$0,2$	$0,5$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$f (x)$	$=$	$0,5 \cdot b^{x}$
	↓	Punkt einsetzen
$2$	$=$	$0,5 \cdot b^{1}$	$: 0,5$
$4$	$=$	$b$

$x^{2} - 2 x - 24$	$=$	$0$
	↓	$p q - F o r m e l$
$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{(- 2)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{(- 2)}{2})}^{2} - (- 24)}$
$x_{1,2}$	$=$	$1 \pm \sqrt{{(1)}^{2} + 24}$
$x_{1,2}$	$=$	$1 \pm \sqrt{25}$

"obere Funktion minus untere Funktion"
	↓
$A$	$=$	$\int_{m}^{0} m x - x^{2} d x$
	↓	Stammfunktion bilden
	$=$	${[\frac{m}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}]}_{m}^{0}$
	↓	Grenzen einsetzen
	$=$	$0 - (\frac{m^{3}}{2} - \frac{m^{3}}{3})$
	$=$	$- \frac{m^{3}}{6}$

$E [X]$	$=$	$2 \cdot P (X = 2) + 5 \cdot P (X = 5) + 8 \cdot P (X = 8)$
	↓	Einsetzen
	$=$	$2 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2 + 8 \cdot 0,5$
	↓	Berechnen
	$=$	$5,6$

$P (X_{1} \cdot X_{2} = 10)$	$=$	$P (X = 2) \cdot P (X = 5) + P (X = 5) \cdot P (X = 2)$
	↓	Einsetzen
	$=$	$0,3 \cdot 0,2 + 0,2 \cdot 0,3$
	$=$	$0,12$

Pflichtteil - Stochastik

Aufgabe P1

Anfangswert a

Wachstumsrate b

Verschiebung um 2 in negativer x-Richtung

Umformung von g(x)

Aufgabe P2

Funktionsgleichung

Ableitung gleich 0 setzen und Gleichung lösen

2. Ableitung

Hinreichende Bedingung

Aufgabe P3

Schnittpunkte berechnen

Fläche berechnen

Aufgabe P4

Ergebnis der Befragung

Anteil bestimmen

Aufgabe P5

Erwartungswert berechnen

Wahrscheinlichkeit berechnen

Anfangswert $a$

Wachstumsrate $b$

Verschiebung um $2$ in negativer $x$ -Richtung

Umformung von $g (x)$

$2$ . Ableitung