Kombinatorisches Veranstaltungsmanagement
1 Zählprinzip
Als Gast der Gala hat man die Möglichkeit, jede Vorspeise mit jeder Hauptspeise und jeder Nachspeise zu kombinieren. Für jede der drei Vorspeisen gibt es vier Hauptspeisen, also Variationen. Jede dieser 12 Variationen kann mit einer der drei Nachspeisen kombiniert werden, also .
Du musst also für jede Entscheidung, die du triffst, die Anzahl der Möglichkeiten mit denen der anderen Entscheidungen multiplizieren.
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhältst du, indem du die Anzahl der Möglichkeiten auf jeder Stufe miteinander multiplizierst. Diese Eigenschaft nennt man auch Zählprinzip.
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2 Nehmen Sie Ihre Plätze ein
Die Zusagen sind eingetroffen und die Gästeliste ist komplett. Li und Luca planen die Sitzordnung.
"Diese Gruppe macht uns das Leben schwer. Es sind 10 Personen, aber die Tische haben immer nur 6 Plätze.", seufzt Luca. "Nicht so schlimm, wir suchen uns einfach eine Aufteilung raus und der Rest kommt an den Nebentisch." "Ja, da hast du recht. Aber wenn wir schon dabei sind. Wie viele Möglichkeiten gäbe es eigentlich 10 Personen auf einen Tisch mit 6 Stühlen aufzuteilen? Das muss man doch berechnen können?"
Überlege dir, wie du die Anzahl der Möglichkeiten berechnen kannst, 6 nummerierte Stühle mit einer Auswahl aus 10 Personen zu besetzen
3 Fakultät und Permutation
Als Gedankenexperiment: Wie sähe der Term aus, wenn wir 10 Personen zufällig auf 10 Plätze verteilen?
Die erste Person hat 10 Möglichkeiten, die zweite 9, dann 8, dann 7, ... bis zur letzten Person, die nur noch einen freien Stuhl sieht. Mit dem Zählprinzip ergibt das Möglichkeiten. Für diesen langen Term gibt es aber auch eine abkürzende Schreibweise: Die Fakultät
Für eine natürliche Zahl n ist die Fakultät eine verkürzte Schreibweise für das Produkt aus allen seinen Vorgängern:
Oder am Beispiel:
Da jedes Zufallsexperiment als Urnenexperiment aufgefasst werden kann, kannst du das Experiment auch als "Ziehen aller Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge" sehen.
Sollen aus einer Urne alle Kugeln ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge gezogen werden, so nennt man das erhaltene Ergebnis Permutation.
Die Anzahl aller möglicher Permutationen von n Elementen ist n!
4 Variation ohne Wiederholung
Zurück zu Li und Luca: Auch ihr Problem kann durch eine Urne simuliert werden. Dabei wird aus einer Urne mit 10 Kugeln sechsmal gezogen und die Reihenfolge der erhaltenen Kugeln beachtet, sodass es wichtig ist, ob die Kugel "Paul Huber" als 1. oder 5. gezogen wird (Paul Huber auf dem 1. oder 5. Stuhl am Tisch sitzt).
Der Unterschied zur Permutation ist, dass diesmal die Fakultät nicht bis zum Ende ausgerechnet wird:
10 Personen könnten auf dem 1. Platz sitzen, noch 9 auf dem 2., noch 8 auf dem 3., noch 7 auf dem 4., noch 6 auf dem 5. und noch 5 auf dem 6., also:
Möglichkeiten 6 Menschen aus 10 auf 6 feste Plätze zuzuteilen.
Werden aus einer Urne mit n Kugeln k Kugeln ohne Zurücklegen (Wiederholung) gezogen und die Reihenfolge beachtet (Variation), so kann die Anzahl der möglichen Variationen mithilfe des Terms
berechnet werden.
In der Anwendung bedeutet das nur, dass die Fakultät nicht bis zum Ende ausgeführt wird, sondern nach den k gezogenen Kugeln abgebrochen wird:
