Aufgaben zu quadratischen Ungleichungen

Mit diesen Aufgaben übst du, quadratische Ungleichungen zu lösen. Du löst Ungleichungen mit quadratischen Termen (zum Beispiel $x^{2}$ ).

Löse folgende Ungleichungen

$- 3 x^{2} - 4 x + 5 \geq 0$

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$x^{2} - 3 x + 10 \leq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
$x^{2} - 3 x + 10 = 0$
2. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung $x^{2} - 3 x + 10 = 0$ . Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:
$p = - 3$ und $q = 10$
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 3$ und $q = 10$ ein.
$=$ $- \frac{(- 3)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2} - 10}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 10}$
↓
Erweitere $10$ mit $4$ .
$=$ $\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{40}{4}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{3}{2} \pm \sqrt{- \frac{31}{4}}$
Der Radikand ist negativ, d.h. die quadratische Gleichung hat keine Lösung.
Der Graph der Funktion $f (x) = x^{2} - 3 x + 10$ hat keine Nullstellen. Für alle $x$ ist $f (x) \neq 0$ .
Es muss nun geprüft werden, ob der Graph komplett oberhalb oder unterhalb der $x$ -Achse verläuft. Setze einen beliebigen x-Wert in die Funktionsgleichung ein, z.B. $x = 0$ :
$f (0) = 0^{2} - 3 \cdot 0 + 10 = 10 > 0$
$\Rightarrow$ Die Funktion $f$ verläuft also komplett oberhalb der $x$ -Achse.
Es gibt keinen $x$ -Wert, der die Ungleichung $x^{2} - 3 x + 10 \leq 0$ erfüllt.
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist somit die leere Menge:
$𝕃 = {}$
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$2 x^{2} + 98 > 28 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite
$2 x^{2} + 98$ $>$ $28 x$ $- 28 x$
↓
Alle Terme auf eine Seite bringen.
$2 x^{2} - 28 x + 98$ $>$ $0$
Du hast die quadratische Ungleichung $2 x^{2} - 28 x + 98 > 0$ erhalten.
2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen
$2 x^{2} - 28 x + 98 = 0$
3. Quadratische Gleichung lösen
Löse die quadratische Gleichung $2 x^{2} - 28 x + 98 = 0$ .
Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
$a = 2$ , $b = - 28$ und $c = 98$
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
↓
Setze $a = 2$ , $b = - 28$ und $c = 98$ ein.
$=$ $\frac{- (- 28) \pm \sqrt{(- 28)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 98}}{2 \cdot 2}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{28 \pm \sqrt{784 - 784}}{4}$
$=$ $\frac{28 \pm 0}{4}$
$=$ $7$
Du hast als Lösung der quadratischen Gleichung die Doppelnullstelle $x = 7$ erhalten.
3. Lege eine Vorzeichentabelle an
Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: $f (x) = 2 x^{2} - 28 x + 98$
Erstelle eine Vorzeichentabelle für $f (x)$ :
Ergebnis: In beiden Intervallen ist $f (x)$ jeweils positiv.
Lediglich für $x = 7$ ist $f (7) = 0$ .
Für $x \in ℝ \ {7}$ ist also die Ungleichung erfüllt.
4. Angabe der Lösungsmenge
Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der gefundenen Lösungsintervalle.
Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:
$𝕃 =] - \infty; 7 [\cup] 7; \infty [$
Gleichwertig ist auch die folgende Darstellung der Lösungsmenge:
$𝕃 = ℝ \ {7}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = - 3$ , $b = - 4$ und $ c = 5$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 5}}{2 \cdot (- 3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{(- 6)}$
	$=$	$\frac{4 \pm \sqrt{76}}{(- 6)}$
	$=$	$\frac{4 \pm 2 \cdot \sqrt{19}}{(- 6)}$
	↓	Klammere $2$ aus und kürze.
	$=$	$- \frac{2 \pm \sqrt{19}}{3}$

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 3$ und $q = 10$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 3)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2} - 10}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 10}$
	↓	Erweitere $10$ mit $4$ .
	$=$	$\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{40}{4}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{3}{2} \pm \sqrt{- \frac{31}{4}}$

$2 x^{2} + 98$	$>$	$28 x$	$- 28 x$
	↓	Alle Terme auf eine Seite bringen.
$2 x^{2} - 28 x + 98$	$>$	$0$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 2$ , $b = - 28$ und $c = 98$ ein.
	$=$	$\frac{- (- 28) \pm \sqrt{(- 28)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 98}}{2 \cdot 2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{28 \pm \sqrt{784 - 784}}{4}$
	$=$	$\frac{28 \pm 0}{4}$
	$=$	$7$

Aufgaben zu quadratischen Ungleichungen

1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

2. Quadratische Gleichung lösen

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

4. Angabe der Lösungsmenge

1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

2. Quadratische Gleichung lösen

1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite

2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

3. Quadratische Gleichung lösen

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

4. Angabe der Lösungsmenge