Komplexe Zahlen in Exponentialform

Eine komplexe Zahl $z$ kann in der Exponentialform dargestellt werden:

z = r \cdot e^{i α}

Dahinter steckt die eulersche Formel

e^{i α} = \cos (α) + i \cdot \sin (α) .

Darstellung einer komplexen Zahl $z$ mit Betrag $r$ und dem Winkel $α$

$z = r \cdot e^{i α}$

Dabei sind

Geometrische Interpretation

Geometrisch gesehen haben $r$ und $α$ in der Exponentialform dieselbe Bedeutung wie in der Polarform einer komplexen Zahl:

$r$ entspricht in der Gaußschen Zahlenebene dem Abstand der komplexen Zahl zum Ursprung.
$α$ ist der von der Strecke $r$ mit der $x$ -Achse eingeschlossene Winkel.

Die komplexe Zahl $z = 3 + 2 i$ kann auch anders dargestellt werden.

Für die Darstellung durch die Exponentialform muss die Strecke $r$ und der Winkel $α$ berechnet werden:

$r = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13}$

$α$	$=$	$\arctan (\frac{2}{3})$
	$=$	$\underset{Angabe in Grad}{\underset{⏟}{{33,69}^{\circ}}}$
	$=$	$\underset{Angabe in Bogenlänge}{\underset{⏟}{0,59}}$

Zusammengesetzt ist die Exponentialdarstellung

$z = \sqrt{13} \cdot e^{0,59 \cdot i}$

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