Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Kugel $K$ mit Mittelpunkt $M (3 | - 6 | 5)$ und Radius $2 \sqrt{6}$ .
Geben Sie eine Gleichung von $K$ in Koordinatenform an und zeigen Sie, dass der Punkt $P (5 | - 4 | 1)$ auf $K$ liegt. (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugeln in der analytischen Geometrie
Kugelgleichung
Die allgemeine Kugelgleichung mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ lautet:
$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} m_{1} \\ m_{2} \\ m_{3} \end{array}))}^{2} = r^{2}$
Setze die gegebenen Werte in die Kugelgleichung ein:
$K : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ - 6 \\ 5 \end{array}))}^{2} = {(2 \sqrt{6})}^{2}$
Die rechte Seite der Gleichung kannst du weiter zusammenfassen:
${(2 \sqrt{6})}^{2} = 4 \cdot 6 = 24$
In Koordinatenschreibweise erhält man dann:
$K : (x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} + 6)^{2} + (x_{3} - 5)^{2} = 24$
Punktprüfung
Setze die Koordinaten des Punktes $P (5 | - 4 | 1)$ in die Kugelgleichung ein:
$24$ $=$ $(x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} + 6)^{2} + (x_{3} - 5)^{2}$
↓
Koordinaten des Punktes $P (5 | - 4 | 1)$ in die Kugelgleichung einsetzen.
$24$ $=$ $(5 - 3)^{2} + (- 4 + 6)^{2} + (1 - 5)^{2}$
$24$ $=$ $2^{2} + 2^{2} + (- 4)^{2}$
$24$ $=$ $4 + 4 + 16$
$24$ $=$ $24$
Man hat eine wahre Aussage erhalten. Der Punkt $P$ erfüllt die Kugelgleichung, d.h. er liegt auf $K$ .
Stelle zunächst die Kugelgleichung in Koordinatenschreibweise auf und setze dann den Punkt P ein.

Untersuchen Sie, ob $K$ die $x_{1} x_{2}$ -Ebene schneidet. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugeln in der analytischen Geometrie
Der Abstand $d$ der Kugel $K$ zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene ist die $x_{3}$ -Koordinate von $M (3 | - 6 | 5)$ .
$\Rightarrow d = 5$
Dieser Abstand $d$ muss nun mit dem Kugelradius $r$ verglichen werden:
Wegen $2 \sqrt{6} \approx 4,90 < 5$ ist der Abstand zur Ebene größert als der Kugelradius. Daher wird die $ x_{1} x_{2}$ -Ebene nicht von der Kugel $K$ geschnitten.
Eine Kugel wird dann von einer Ebene geschnitten, wenn der Abstand des Kugelmittelpunktes zur Ebene kleiner als der Kugelradius ist.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$24$	$=$	$(x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} + 6)^{2} + (x_{3} - 5)^{2}$
	↓	Koordinaten des Punktes $P (5 \| - 4 \| 1)$ in die Kugelgleichung einsetzen.
$24$	$=$	$(5 - 3)^{2} + (- 4 + 6)^{2} + (1 - 5)^{2}$
$24$	$=$	$2^{2} + 2^{2} + (- 4)^{2}$
$24$	$=$	$4 + 4 + 16$
$24$	$=$	$24$

Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Kugelgleichung

Punktprüfung