Komplexe Zahlen in Polarform

Eine komplexe Zahl $z = x + i \cdot y$ kannst du in Polarform umschreiben zu:

z = r (\cos (α) + i \cdot \sin (α))

Anschaulich ist $r$ in der Gaußschen Zahlenebene der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung und $α$ der Winkel, den die Linie mit der $x$ -Achse einschließt.

Analog zu den Polarkoordinaten können auch komplexe Zahlen in Polarform dargestellt werden.

In der Gaußschen Zahlenebene haben wir eine komplexe Zahl $z = x + i \cdot y$ durch ihren Realteil $x$ und ihren Imaginärteil $y$ in ein Koordinatensystem eingetragen.

Für ist der Realteil und der Imaginärteil . Wir tragen daher in unserem Koordinatensystem den Punkt ein. — Für $z = 3 + 2 i$ ist der Realteil $3$ und der Imaginärteil $2$ . Wir tragen daher in unserem Koordinatensystem den Punkt $(3,2)$ ein.

Statt $x$ und $y$ können wir eine komplexe Zahl aber auch durch ihren Abstand vom Ursprung und dem Winkel zur $x$ -Achse charakterisieren.

Durch die - und -Koordinate ist ein Punkt eindeutig definiert. Aber auch, indem wir den Abstand zum Ursprung und den eingeschlossenen Winkel mit der -Achse angeben, erhalten wir einen eindeutigen Punkt. — Durch die $x$ - und $y$ -Koordinate ist ein Punkt eindeutig definiert. Aber auch, indem wir den Abstand $r$ zum Ursprung und den eingeschlossenen Winkel $α$ mit der $x$ -Achse angeben, erhalten wir einen eindeutigen Punkt.

Der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung ist der Betrag $r$ . Den Winkel $α$ , den diese Linie mit der $x$ -Achse einschließt, nennen wir das Argument der komplexen Zahl. Es wird normalerweise im Bogenmaß angegeben. $α$ nimmt daher Werte zwischen $0$ und $2 π$ an.

Aus der Abbildung können wir jetzt mit Sinus und Cosinus $x$ und $y$ berechnen:

$\cos (α) = \frac{x}{r} \Rightarrow x = r \cdot \cos (α)$

$\sin (α) = \frac{y}{r} \Rightarrow y = r \cdot \sin (α)$

Diese Gleichungen für $x$ und $y$ setzen wir jetzt in die kartesische, also die normale Darstellung der komplexen Zahl $z = x + i y$ ein:

$z = x + i \cdot y = r \cdot \cos (α) + i \cdot r \cdot \sin (α) = r (\cos (α) + i \cdot \sin (α))$

Wir können eine komplexe Zahl auch schreiben als:

z = r (\cos (α) + i \cdot \sin (α))

Oft notiert man abkürzend:

z = (r | α)

Das ist die Darstellung einer komplexen Zahl in den Polarkoordinaten.

Transformationen zu anderen Darstellungsformen

Umrechnung von Polarform in kartesische Form

Wenn $r$ und $α$ bekannt sind, kannst du $x$ und $y$ so berechnen:

$x = r \cdot \cos (α)$

$y = r \cdot \sin (α)$

Dann kannst du $x$ und $y$ in $z = x + i y$ einsetzen, um die kartesische Form zu erhalten.

Umrechnung von kartesischer Form in Polarform

Du hast die Darstellung $z = x + i y$ gegeben. $x$ und $y$ kannst du daraus ablesen. Wir wollen nun den Betrag $r$ und das Argument $α$ berechnen.

Für $r$ kannst du die Formel für den Betrag einer komplexen Zahl verwenden:

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Aus der Abbildung oben kannst du ablesen, dass $\tan (α) = \frac{y}{x}$ gilt. Also ist:

$α = \tan^{- 1} (\frac{y}{x})$

Weil der Tangens periodisch ist, liefert er zwei mögliche Werte für $α$ :

Einmal den Wert, den du mit der obigen Formel berechnen kannst
und zum anderen den Wert $α^{'} = π + \tan^{- 1} (\frac{y}{x})$

Um herauszufinden, welcher $α$ -Wert der gesuchte ist, kannst du beide Werte in die Formeln $x = r \cos (α)$ und $y = r \sin (α)$ einsetzen und überprüfen, wo das Richtige herauskommt. Eine Probe ist also in diesem Fall unabdinglich!

Multiplikation und Division komplexer Zahlen in Polarform

MerkeMultiplikation

Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_{1}$ und $z_{2}$ werden die Radien multipliziert und die Winkel addiert:

z_{1} \cdot z_{2} = (r_{1} \cdot r_{2} | α_{1} + α_{2}) = r_{1} r_{2} (\cos (α_{1} + α_{2}) + i \cdot \sin (α_{1} + α_{2}))

MerkeDivision

Bei der Division zweier komplexer Zahlen $z_{1}$ und $z_{2}$ werden die Radien dividiert und die Winkel subtrahiert:

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = (\frac{r_{1}}{r_{2}} | α_{1} - α_{2}) = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos (α_{1} - α_{2}) + i \cdot \sin (α_{1} - α_{2}))$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org