Aufgaben zu Differentialgleichungen

Die gegebene Differenzialgleichung $y^{\prime }-3xy=0$ wird in der differentiellen Form geschrieben:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}-3xy=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=3xy$

Trennung der Variablen:

Alle Terme, die $y$ enthalten, kommen auf die linke Seite der Gleichung und alle Terme mit $x$ kommen auf die rechte Seite der Gleichung.

Dann folgt:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{y}}=3x\mathrm{d}x$

Integration:

Auf beiden Seiten der Gleichung wird integriert:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{y}}\mathrm{d}y={\displaystyle \int 3x\mathrm{d}x}}$$

Die Stammfunktion von ${\displaystyle \frac{1}{y}}$ ist $\ln |y|+c_1$.

Die Stammfunktion von $3x$ ist ${\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+c_2$.

Löse nun die Gleichung nach $y$ auf:

Der konstante Faktor $\pm e^C$ durchläuft alle reellen Zahlen $D\ne 0$.

Da aber auch $y=0$ eine Lösung der Differenzialgleichung ist, erhält man die Funktionenschar $y=D\cdot e^{\frac{3}{2}{x}^2}$ mit $D\in ℝ$ als allgemeine Lösung.

Die Lösung der gegebenen Differenzialgleichung lautet:

Dargestellt sind beispielsweise die Graphen für $D=\mathrm{0,5},D=\mathrm{1,5}$ und $D=\mathrm{2,5}$.

Setze $(1|1)$ in $y=D\cdot e^{\frac{3}{2}{x}^2}$ ein:

$1=D\cdot e^{\frac{3}{2}\cdot 1^2}\Rightarrow D={\displaystyle \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}}=e^{-\frac{3}{2}}$

Die spezielle Lösungsfunktion $y$, die durch den Punkt $(1|1)$ verläuft, lautet:

Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung: