Achsenabschnittsform der Ebenengleichung

Die Achsenabschnittsform ist eine Darstellungsform einer Ebene. Der besondere Vorteil dieser Form liegt darin, dass die Achsenschnittpunkte (Spurpunkte) direkt abgelesen werden können.

Die allgemeine Koordinatenform der Ebenengleichung lautet:

E : a \cdot x_{1} + b \cdot x_{2} + c \cdot x_{3} = d

Teilt man diese Gleichung durch $d$ , so erhält man:

E : \frac{a \cdot x_{1}}{d} + \frac{b \cdot x_{2}}{d} + \frac{c \cdot x_{3}}{d} = 1

oder anders geschrieben:

E : \frac{x_{1}}{\frac{d}{a}} + \frac{x_{2}}{\frac{d}{b}} + \frac{x_{3}}{\frac{d}{c}} = 1

Das ist die sogenannte Achsenabschnittsform, da hier die Achsenschnittpunkte (Spurpunkte) direkt abgelesen werden können:

Achsenschnittpunkte

$S_{x_{1}} (\frac{d}{a} | 0 | 0)$ ; falls $a \neq 0$

$S_{x_{2}} (0 | \frac{d}{b} | 0)$ ; falls $b \neq 0$

$S_{x_{3}} (0 | 0 | \frac{d}{c})$ ; falls $c \neq 0$

Beispiel

Gegeben ist die Ebenengleichung $E : 2 \cdot x_{1} + 6 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3} = 12$

Erstelle die Achsenabschnittsform der Ebenengleichung, gib die Achsenschnittpunkte (Spurpunkte) an und zeichne die Ebene in ein Koordinatensystem.

Lösung:

$3 \cdot x_{1} + 6 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3}$	$=$	$12$	$: 12$
$\frac{3 \cdot x_{1}}{12} + \frac{6 \cdot x_{2}}{12} + \frac{4 \cdot x_{3}}{12}$	$=$	$1$
	↓	Kürze.
$\frac{x_{1}}{4} + \frac{x_{2}}{2} + \frac{x_{3}}{3}$	$=$	$1$

Die Achsenabschnittsform der Ebene lautet

$E : \frac{x_{1}}{4} + \frac{x_{2}}{2} + \frac{x_{3}}{3} = 1$

Die Achsenschnittpunkte lauten:

$S_{x_{1}} (4 | 0 | 0); S_{x_{2}} (0 | 2 | 0); S_{x_{3}} (0 | 0 | 3)$

Die Achsenschnittpunkte sind in das Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden.

Dargestellt ist die Lage der Ebene $E$ im Koordinatensystem.

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