Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1 und 2

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist symmetrisch.

Aus der angegebenen Tabelle liest man ab:

$\begin{array}{l}P(X\le 0)=P(X=0)=\mathrm{0,05}\\ \Rightarrow P(X=5)=\mathrm{0,05}\end{array}$

$\begin{array}{l}P(X\le 1)=\mathrm{0,2}\Rightarrow P(X=1)=P(X\le 1)-P(X\le 0)\\ ⟺P(X=1)=\mathrm{0,2}-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,15}\\ \Rightarrow P(X=4)=\mathrm{0,15}\end{array}$

$\begin{array}{l}P(X\le 2)=\mathrm{0,5}\Rightarrow P(X=2)=P(X\le 2)-P(X\le 1)\\ ⟺P(X=2)=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,3}\\ \Rightarrow P(X=3)=\mathrm{0,3}\end{array}$

Damit folgt:

$P(X\le 3)=P(X\le 2)+P(X=3)=\mathrm{0,5}+\mathrm{0,3}=\mathrm{0,8}$

$P(X\le 4)=P(X\le 3)+P(X=4)=\mathrm{0,8}+\mathrm{0,15}=\mathrm{0,95}$

$P(X\le 5)=P(X\le 4)+P(X=5)=\mathrm{0,95}+\mathrm{0,05}=1$

Also:

$\begin{array}{cccccccc}k& |0& |1& |2& |3& |4& |5& |\\ P(X\le k)& |\mathrm{0,05}& |\mathrm{0,2}& |\mathrm{0,5}& |\mathrm{0,8}& |\mathrm{0,95}& |1& |\end{array}$

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist $\underline{nicht}$ binomialverteilt.

Denn sonst müsste gelten:

$\begin{array}{l}B(5,p,0)=B(5,p,5)⟺\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{0}\right)\cdot p^0\cdot q^5=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{5}\right)\cdot p^5\cdot q^0\\ ⟺q^5=p^5\Rightarrow p=q=\frac{1}{2}\end{array}$

Aber: $(\frac{1}{2}{)}^5=\frac{1}{32}\ne \frac{5}{100}$