Ebene aus einer Geraden und einem Punkt

Anhand eines Punktes $A = (a_{1} | a_{2} | a_{3})$ und einer Geraden

g : \vec{x} = (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} c \\ e \\ f \end{array})

lässt sich eine eindeutige Ebene konstruieren, die beide Objekte enthält.

Hierzu werden aus der Geraden zwei Punkte $B, C$ entnommen und mit $A$ zusammen die Parameterform der Ebene aufgestellt:

E : \vec{x} = \vec{O A} + λ \cdot \vec{A B} + μ \cdot \vec{A C}

Gleichung und Konstruktion

Aus einem Punkt und einer Geraden lassen sich schnell drei Punkte erstellen. Ein Punkt ist uns schon durch $A$ gegeben. Die anderen beiden wählen wir uns aus der Geraden. Hier können wir uns jeden Punkt heraussuchen, doch üblich ist es erst für $s = 0$ und dann für $s = 1$ einzusetzen, sodass wir die Punkte $B (a / b / c)$ und $C (a + d / b + e / c + f)$ erhalten.

Ab hier kann man bei der Herleitung der Ebenengleichung und der Konstruktion wie bei Ebene aus drei Punkten fortfahren.

Beispielaufgabe

Gegeben: $A (1 / 2 / 3) t : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ 8 \\ 9 \end{array})$

Rechnung	Beschreibung
$B (4 / 5 / 6)$ $C (11 / 13 / 15)$	Um $3$ Punkte zu erhalten setzt man zuerst $s = 0$ und dann $s = 1$ und erhält so die Punkte $B$ und $C$ .
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}); \vec{A C} = (\begin{array}{c} 10 \\ 11 \\ 12 \end{array})$	Da die Ebenengleichung die Form $\vec{x} = \vec{O A} + λ \vec{\cdot A B} + μ \vec{\cdot A C}$ hat, benötigen wir die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ .
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 10 \\ 11 \\ 12 \end{array})$	Nun stellen wir die Ebenengleichung mit der Form $E : \vec{x} = \vec{O A} + λ \vec{\cdot A B} + μ \vec{\cdot A C}$ auf und sind dann fertig.

Übungsaufgaben

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