Quantor

Die Quantoren $\exists$ und $\forall$ heißen Existenz- und Allquantor. Sie sind Operatoren und werden in der Logik, bzw. damit einhergehend Mathematik, verwendet, um Aussagen zu formulieren.

Allquantor, Existenzquantor und dessen Varianten

$\exists$ : Dieser Quantor heißt „Es gibt (mindestens eins)“.

$∄$ : Dieser Quantor heißt „Es gibt kein“.

$\exists!$ : Dieser Quantor heißt: „Es gibt genau ein“.

$\forall$ : Dieser Quantor heißt „Für alle“.

Weitere Beispiele

Beispiel 1:

$\forall n \in ℕ \exists p \in ℕ : p > n$ und $p$ Primzahl

Beispiel 2

In jeder deutschen Stadt gibt es einen Bürger, der ein Haus besitzt

Verhalten der Quantoren bei Negation

Aussagen, wie z. B. „Für alle Elemente $x$ einer Menge $M$ gibt es ein Element $m$ , sodass $m > x$ “, können in Quantorenschreibweise dargestellt werden:

\forall x \in M, \exists m \in M : m > x .

Diese Aussage, nennen wir sie $A$ , kann negiert werden. Damit ist $\neg A :$

\exists x \in M \forall m \in M : x \geq m .

Die Negation „Es gibt ein Element $m$ für alle $x$ sodass $x \geq m$ “, ist das genaue Gegenteil der oberen Aussage: Erst wieder behauptet, jedes Element $x$ könne überboten werden durch ein $m$ und nun gibt es ein $x$ , welches größer (gleich) ist als (wie) alle $m$ .

Die Regeln für das Negieren einer Aussage (neben der Umkehrung der letzten Gleichung) lauten:

\exists \overset{\neg}{⟼} \forall

\forall \overset{\neg}{⟼} \exists

Die Operatoren werden sozusagen ausgetauscht.

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