Aufgaben zur Spieltheorie

Nein

Für jede Strategie von Spieler 1 hat Spieler 2 eine Antwort, die seinen Gewinn maximiert, aber Spieler 1 nicht gefällt.

Schere besiegt Papier daher ist das vermutlich die beste Strategie.

$u_2(\text{Schere})=e_2(\text{Papier, Schere})=1$

$u_2(\text{Papier})=e_2(\text{Papier, Papier})=0$

$u_2(\text{Stein})=e_2(\text{Papier, Stein})=-1$

Man sieht das $u_2(\text{Schere})$ Wert $1$ hat, somit hat die reine Strategie, immer Schere zu nehmen, den grösten erwarteten Nutzen.

$v_1(\text{Papier, BeiHerta})=u_1(\text{Papier})$

$v_1(\text{Papier, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot e_1(\text{Papier, Schere})+\mathrm{0,5}\cdot e_1(\text{Papier, Stein})$

$v_1(\text{Papier, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot (-1)+\mathrm{0,5}\cdot 1=0$

$v_2(\text{Papier, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot u_2(\text{Schere})+\mathrm{0,5}\cdot u_2(\text{Stein})$

$v_2(\text{Papier, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot e_2(\text{Papier, Schere})+\mathrm{0,5}\cdot e_2(\text{Papier, Stein})$

$v_2(\text{Papier, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot 1+\mathrm{0,5}\cdot (-1)=0$

Das erwartete Ergebnis ist ein Unentschieden. Obwohl beide nie dasselbe machen, gewinnen beide Seiten gleich oft/wahrscheinlich.

Zunächst berechnen wir den erwarteten Gewinn der Reinen Strategien gegen die Uwe und die BeiHerta Strategien.

$u_1(\text{Papier, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot e_1(\text{Papier, Schere})+\mathrm{0,5}\cdot e_1(\text{Papier, Stein})$$u_1(\text{Papier, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot (-1)+\mathrm{0,5}\cdot 1=0$

$u_1(\text{Schere, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot e_1(\text{Schere, Schere})+\mathrm{0,5}\cdot e_1(\text{Schere, Stein})$

$u_1(\text{Schere, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot 0+\mathrm{0,5}\cdot (-1)=-\mathrm{0,5}$

$u_1(\text{Stein, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot e_1(\text{Stein, Schere})+\mathrm{0,5}\cdot e_1(\text{Stein, Stein})$

$u_1(\text{Stein, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot 1+\mathrm{0,5}\cdot 0=\mathrm{0,5}$

Das beste, was man gegen Herta spielen kann, ist immer Stein zu machen.

$u_2(\text{Uwe ,Papier})=\mathrm{0,25}\cdot e_2(\text{Papier, Papier})+\mathrm{0,35}\cdot e_2(\text{Schere, Papier})+\mathrm{0,4}\cdot e_2(\text{Stein, Papier})$

$u_2(\text{Uwe, Papier})=\mathrm{0,25}\cdot 0+\mathrm{0,35}\cdot (-1)+\mathrm{0,4}\cdot 1=\mathrm{0,05}$

$u_2(\text{Uwe, Schere})=\mathrm{0,25}\cdot e_2(\text{Papier, Schere})+\mathrm{0,35}\cdot e_2(\text{Schere, Schere})+\mathrm{0,4}\cdot e_2(\text{Stein, Schere})$

$u_2(\text{Uwe, Schere})=\mathrm{0,25}\cdot 1+\mathrm{0,35}\cdot 0+\mathrm{0,4}\cdot (-1)=-\mathrm{0,15}$

$u_2(\text{Uwe, Stein})=\mathrm{0,25}\cdot e_2(\text{Papier, Stein})+\mathrm{0,35}\cdot e_2(\text{Schere, Stein})+\mathrm{0,4}\cdot e_2(\text{Stein, Stein})$

$u_2(\text{Uwe, Stein})=\mathrm{0,25}\cdot (-1)+\mathrm{0,35}\cdot 1+\mathrm{0,4}\cdot 0=\mathrm{0,1}$

Das beste, was man gegen Uwe spielen kann, ist immer Stein zu machen.

Berechnen wir, wie Mark gegen Herta spielt:

$v_2(\text{Uwe, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot u_2(\text{Uwe, Schere})+\mathrm{0,5}\cdot u_2(\text{Uwe, Stein})$

$v_2(\text{Uwe, BeiHerta})=\mathrm{0,5}\cdot (-\mathrm{0,15})+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,1}=-\mathrm{0,025}$

$v_1(\text{Uwe, BeiHerta})=\mathrm{0,25}\cdot u_1(\text{Papier ,BeiHerta})+\mathrm{0,35}\cdot u_1(\text{Schere, BeiHerta})+\mathrm{0,4}\cdot u_1(\text{Stein, BeiHerta})$

$\text{}{v}_1(\text{Uwe, BeiHerta})=\mathrm{0,25}\cdot 0+\mathrm{0,35}\cdot (-\mathrm{0,5})+\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,025}$

Im Schnitt gewinnt Mark mit seiner neuen Taktik gegen Herta. Da der erwartete Gewinn von $v_1(\text{Uwe, BeiHerta})$ jedoch nur knapp über dem von Herta $v_2(\text{Uwe, BeiHerta})$ ist, müsste man sehr oft spielen, um zu sehen, dass es kein faires Spiel ist.

Ja.

Die Strategie, alles gleich oft zu machen führt dazu, dass es egal ist, was der andere macht. Wenn beide alles gleich oft machen, hat keiner einen Grund, etwas zu ändern. Wir haben ein Gleichgewicht.

Spieltheoretisch würde man sagen, der erwartete Gewinn aller reinen Strategien ist gleich.

$\begin{array}{l}{u}_1(\text{Schere, Zufall})\\ =\frac{1}{3}\cdot e_1(\text{Schere, Schere})+\frac{1}{3}\cdot e_1(\text{Schere, Stein})+\frac{1}{3}\cdot e_1(\text{Schere, Papier})\\ =\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}(-1)+\frac{1}{3}\cdot 1\\ =0\end{array}$

$\begin{array}{l}{u}_1(\text{ausweichen},p)=p\cdot 0+(1-p)\cdot -1=p-1\\ u_1(\text{Kurshalten},p)=p\cdot 1+(1-p)\cdot -10=11\cdot p-10\end{array}$

Um eine gemischte Strategie zu erreichen, muss Spieler 2 sein $p$ so wählen, dass es für Spieler 1 egal ist, was er spielt.

$\begin{array}{l}{u}_1(\text{ausweichen},p)=u_1(\text{Kurshalten},p)\\ p-1=11\cdot p-10\\ 9=10\cdot p\\ p=\mathrm{0,9}\end{array}$

Spieler 2 wählt also sein $p$, sodass er in 9 von 10 Fällen ausweicht. Wenn Spieler zwei das auch macht, haben wir ein gemischtes Gleichgewicht.

Der erwartete Gewinn dieser gemischten Strategie ist:

$\begin{array}{l}{v}_1(\mathrm{0,9};\mathrm{0,9})=\mathrm{0,9}\cdot u_1(\text{ausweichen};\mathrm{0,9})+\mathrm{0,1}\cdot u_1(\text{Kurshalten};\mathrm{0,9})\\ v_1(\mathrm{0,9};\mathrm{0,9})=\mathrm{0,9}\cdot (\mathrm{0,9}-1)+\mathrm{0,1}\cdot (11\cdot \mathrm{0,9}-10)\\ v_1(\mathrm{0,9};\mathrm{0,9})=\mathrm{0,9}\cdot (-\mathrm{0,1})+\mathrm{0,1}\cdot (-\mathrm{0,1})\\ v_1(\mathrm{0,9};\mathrm{0,9})=-\mathrm{0,09}-\mathrm{0,01}=-\mathrm{0,1}\end{array}$

Da das Spiel symmetrisch ist, haben beide Spieler den selben hier negativen erwarteten Gewinn. In anderen Worten: alle Spielteilnehmer verlieren im Schnitt immer, man sollte das Spiel nicht spielen.

$\begin{array}{l}{u}_1(\text{lügt},p)=p\cdot -1+(1-p)\cdot -5=4\cdot p-5\\ u_1(\text{gestehen},p)=p\cdot 0+(1-p)\cdot -2=2\cdot p-2\end{array}$

Um ein Gleichgewicht in einer gemischten Strategie zu erreichen, muss Spieler 2 sein $p$ so wählen, dass es für Spieler 1 egal ist, was er spielt. Setzen wir dementsprechend den von Spieler 1 erwarteten Gewinn der beiden Strategien gleich.

$\begin{array}{l}{u}_1(\text{lügt},p)=u_1(\text{gestehen},p)\\ 4\cdot p-5=2\cdot p-2\\ 2\cdot p=3\\ p=\frac{3}{2}=\mathrm{1,5}\end{array}$

Moment ?! Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 2 lügt, soll 1,5 sein, das ist über 1 und kann somit nicht richtig sein!

Werfen wir noch einmal einen Blick in die Bi-Matrix ohne groß zu rechen.

Wenn Spieler 2 lügt, sind wir in der linken Spalte. Angenommen Spieler 1 weiß, dass Spieler 2 lügt, dann kann er sich für auch zum Lügen entscheiden und -1 bekommen. (links oben) oder er gesteht und bekommt 0. (links unten) Wenn Spieler 1 seinen Gewinn maximiert, gesteht er.

Wenn Spieler 2 gesteht, sind wir in der rechten Spalte. Angenommen Spieler 1 weiß, dass Spieler 2 gesteht, dann kann er sich für zum Lügen entscheiden und -5 bekommen. (rechts oben) oder er gesteht und bekommt -2. (rechts unten) Wenn Spieler 1 seinen Gewinn maximiert, gesteht er.

Beiden Fällen ist es für Spieler 1 besser zu gestehen, also ist es auch in jeder gemischten Strategie von Spieler 2 ist es besser zu gestehen.

Spieler 2 kann sein $p$ überhaupt nicht so wählen, dass es für Spieler 1 egal ist, welche Strategie er wählt. Unser Ansatz, die den erwarteten Gewinn der beiden Strategien gleichzusetzen, ist nicht zielführend und es kommt ein komisches Ergebnis für $p$ heraus.

Mathematisch gesehen kann man sagen für alle p zwischen 0 und 1 gilt:

$u_1(\text{gestehen},p)>u_1(\text{lügt},p)$

Es gibt also kein Gleichgewicht in gemischten Strategien.

Offensichtlich ist es für beide das beste die Strategie 'Ja' zu wählen.

Es ist ein starkes Nash-Gleichgewicht, wenn beide Spieler 'Ja' wählen. Denn es wäre für beide Spieler schlecht abzuweichen.

Interessanterweise haben wir auch ein schwaches Nash-Gleichgewicht, wenn beide Spieler 'Nein' wählen. Dann kann keiner der beiden seinen Gewinn erhöhen, wenn er (alleine) seine Strategie ändert.

Da wir (wie im Kampf der Geschlechter) zwei Nash-Gleichgewichte haben, können wir nach einer gemischten Strategie suchen.

Wenn Spieler 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von p ja sagt, ist der erwartete Gewinn von Spieler 1 für seine reinen Strategien wie folgt:

$\begin{array}{l}{u}_1(\text{Ja, p})=p\cdot e_1(\text{Ja, Ja})+(p-1)\cdot e_1(\text{Ja, Nein})=p\cdot 1+(p-1)\cdot 0=p\\ u_1(\text{Nein, p})=p\cdot e_1(\text{Nein, Ja})+(p-1)\cdot e_1(\text{Nein, Nein})=p\cdot 0+(p-1)\cdot 0=0\end{array}$

Es gibt kein $p(\text{mit }0<p<1)$ , das Spieler 2 wählen könnte, damit der erwartete Gewinn der beiden Strategien gleich ist. Wenn er $p=0$ wählt, ist es für Spieler 1 egal welche Strategie er wählt. Aber wenn beide Spieler $p=0$ wählen, haben wir ein Gleichgewicht in einer reinen und nicht in einer gemischten Strategie.

Um eine gemischte Strategie zu haben, muss p zwischen 0 und 1 liegen.

Es gibt hier kein Gleichgewicht in einer gemischten Strategie.

Stellen wir zunächst die Gewinnfunktion des Monopols auf.

Das Monopol möchte seinen Gewinn maximieren, daher bestimmen wir das Maximum von $G(x)$.

Insgesamt sollen also 300 Becher verkauft werden, wobei jede Klasse 150 Becher verkauft. Damit können wir den Gewinn der einzelnen Klassen berechnen, indem wir die Gewinnfunktion entsprechend aufteilen.

Mit der Kartellabsprache erzielt Klasse A einen Gewinn von $\mathrm{262,50}€$ und Klasse B einen Gewinn von $\mathrm{195,00}€.$

Obwohl beide Klassen die gleiche Menge Punsch (150 Becher) zum gleichen Preis ($\mathrm{2,50}€$) verkaufen, erzielt Klasse A einen höheren Gewinn, da sie den Punsch günstiger produziert.

Wir setzen in $x_a(x_b)$ den Wert $x_b=150$ ein, um die optimale Verkaufsmenge für Klasse A zu berechnen: $x_a(150)=250$

Setzen wir diese Menge nun in die Gewinnfunktion $G_a(x_a,x_b)$ ein, erhalten wir:

Sollte sich Klasse A nicht an die Absprache halten, erzielt sie einen Gewinn von $\mathrm{312,50}€$ und damit $50€$ mehr, als wenn sie sich an die Vereinbarung gehalten hätte.

Analog für Klasse B:

$x_b(150)=205$

$G_b(\mathrm{150,205})=205\cdot (4-\frac{355}{200})-205\cdot \mathrm{1,2}$

$G_b(\mathrm{150,205})=\mathrm{210,13}$

Klasse B würde ihren Gewinn auf $\mathrm{210,13}€$ erhöhen, also um $\mathrm{15,13}€$ mehr als bei Einhaltung der Absprache.

Tragen wir zunächst alle Werte in die Matrix ein, die wir bereits berechnet haben.

Berechnen wir die fehlenden Werte mithilfe der Gewinnfunktion $G_a(x_a,x_b)$

Zu keinem – entgegen der Erwartung handelt es sich nicht um ein Gefangenendilemma.

Zwar wäre der Gesamtgewinn beider Parteien größer, wenn sie sich an das Kartell halten, als wenn sie es brechen. Jedoch hat Spieler 1 (Klasse A) einen klaren Anreiz, das Kartell zu brechen, indem sie $250$ Becher verkauft. Abweichen wäre hier eine dominante Strategie.

Wären nur diese zwei Optionen möglich, wäre es für Spieler 2 (Klasse B) am besten, die Absprache einzuhalten und 150 Becher zu verkaufen. Würde Klasse B jedoch davon ausgehen, dass Klasse A sich ohnehin nicht an die Absprache hält und $250$ Becher verkaufen wird, könnte sie mithilfe der besten Antwort-Funktion eine bessere Strategie berechnen. Nämlich: $x_b(250)=155$

Denkt nun Klasse A, dass Klasse B $155$ Becher verkauft, kann sie ihre Strategie wiederum anpassen. $x_a(155)=247$

Passt nun Klasse B ihre Produktion an, optimiert sie ihre Menge entsprechend der neuen Erwartung über Klasse A's Verkaufsstrategie. $x_b(247)=157$

Haben wir das Cournot-Nash-Gleichgewicht erreicht, ist ein weiteres Anpassen nicht mehr möglich. (Durch das wechselseitige Anpassen wird hier stets das Cournot-Nash-Gleichgewicht erreicht.) In diesem Gleichgewicht erzielen die Klassen folgende Gewinne:

Hier erkennt man bereits, dass der Gewinn von Klasse A im Cournot-Nash-Gleichgewicht höher ist als unter der Absprache. Die Absprache war also von Anfang an nachteilig für Klasse A.

Das liegt an der vermeintlich fairen Strategie, dass beide Klassen gleich viel Punsch produzieren. Diese Aufteilung ist jedoch ungünstig für Klasse A, da ihr Kostenvorteil durch die günstigere Produktion nicht berücksichtigt wird – ein Vorteil, der im Wettbewerb eine Rolle spielt, hier aber nicht mehr zum Tragen kommt.

Durch eine Aufteilung, die den Kostenvorteil von Klasse A einbezieht, könnten jedoch beide Klassen höhere Gewinne erzielen. Dies wirst du in der nächsten Teilaufgabe untersuchen.

Prinzipiell ändert die Aufteilung des Punschverkaufs nichts an der Gesamtnachfrage. Daher sollten die Klassen, wenn sie gemeinsam als Monopolist auftreten, weiterhin insgesamt 300 Tassen Punsch verkaufen.

Nach der Absprache soll:

• Klasse A $200$ Tassen verkaufen.

• Klasse B $100$ Tassen verkaufen.

Würde Klasse A jedoch das Kartell brechen, wäre es für sie ideal, $275$ Tassen zu verkaufen. $x_a(100)=275$

Für Klasse B wäre es hingegen vorteilhaft, die Absprache zu brechen und 180 Tassen zu verkaufen. $x_b(200)=180$

Hieraus ergibt sich die folgende Bi-Matrix:

Hier erkennt man, dass die Gewinne beider Klassen im Kartell höher sind als im Cournot-Nash-Gleichgewicht.

Zum Vergleich: Die Gewinne im Cournot-Nash-Gleichgewicht betragen für Klassen:

Man sieht jedoch auch deutlich, dass jeder der Spieler ein starkes Interesse daran hat, als Einziger von der Absprache abzuweichen.

Sollte man das Spiel jedoch mehrfach spielen, könnte es sinnvoll sein, sich an die Absprache zu halten. Wie auch im echten Leben lohnt sich Teamwork, da ein Preiskampf zum Cournot-Nash-Gleichgewicht führt, in dem die Gewinne für alle Beteiligten geringer sind als bei Zusammenarbeit.