Aufgaben zu Funktionen mit Gleichungen der Form y=mx+t

1
Eine Kerze ist anfangs $18 cm$ lang. Wenn sie brennt, wird sie in jeder Stunde um $1,5 cm$ kürzer.
Wie viele Stunden dauert es, bis die Kerze ganz abgebrannt ist?
Stunden

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Pro Stunde wird die Kerze um $1,5 cm$ kürzer. Die Brenndauer in Stunden erhältst du, indem du berechnest, wie oft die $1,5 cm$ in der Gesamtlänge von $18 cm$ enthalten sind. $\Rightarrow \frac{18}{1,5} = 12$
Antwort: Nach $12$ Stunden ist die Kerze abgebrannt.

Zeichne den Graphen der Funktion $f$ :
Brenndauer $x$ $(in Stunden)$ $\mapsto$ Länge $y$ $(in cm)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Graph der Funktion $f$
Zum Zeichnen einer linearen Funktion brauchst du zwei Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen.
Ein Punkt ist in der Aufgabenstellung gegeben. Am Anfang $x = 0$ ist die Kerze $18 cm$ lang $\Rightarrow P (0 | 18)$ .
Im Aufgabenteil a) hast du die Zeit $x = 12$ Stunden berechnet, nach der die Kerze abgebrannt ist, d.h. die Kerzenlänge ist $0 cm \Rightarrow Q (12 | 0)$ .
Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie.

Notiere die Funktionsgleichung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Funktionsgleichung
Beispiele für die Kerzenlänge $y$ nach einer bestimmten Brenndauer $x$ Stunden.
Am Anfang ist die Kerze $y = 18 cm$ lang.
Brenndauer $1$ Stunde : Nach $1$ Stunde hat sie noch eine Länge von:
$y = 18 cm - 1,5 cm \cdot 1 = 16,5 cm$
Brenndauer $2$ Stunden: Nach $2$ Stunden hat sie dann eine Länge von:
$y = 18 cm - 1,5 cm \cdot 2 = 15 cm$
Brenndauer $x$ Stunden: Nach $x$ Stunden hat sie eine Länge von:
$y = 18 - 1,5 \cdot x$
In der Normalform geschrieben lautet die Funktionsgleichung: $y = - 1,5 \cdot x + 18$
Antwort: Die Funktionsgleichung für die Länge der Kerze in Abhängigkeit von der Zeit lautet:
$y = - 1,5 \cdot x + 18$

Berechne die Länge der Kerze nach $5$ bzw. $8$ Stunden. Überprüfe deine berechneten Werte anhand des Graphen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Setze $x = 5$ in die Funktionsgleichung ein.
$y$ $=$ $18 - 1,5 \cdot x$
↓
$x = 5$ einsetzen
$=$ $18 - 1,5 \cdot 5$
$=$ $18 - 7,5$
$=$ $10,5$
Antwort: Nach $5$ Stunden hat die Kerze noch eine Länge von $10,5 cm$ .
Setze $x = 8$ in die Funktionsgleichung ein.
$y$ $=$ $18 - 1,5 \cdot x$
↓
$x = 8$ einsetzen
$=$ $18 - 1,5 \cdot 8$
$=$ $18 - 12$
$=$ $6$
Antwort: Nach $8$ Stunden hat die Kerze noch eine Länge von $6 cm$ .
Nach $5$ Stunden hat die Kerze noch eine Länge von $10,5 cm \Rightarrow R (5 | 10,5)$ .
Nach $8$ Stunden hat sie noch eine Länge von $6 cm \Rightarrow S (8 | 6)$ .
Beide Punkte liegen auf dem Graphen der Funktion $f$ . Die Kerzenlänge zu den Zeiten $5$ bzw. $8$ Stunden wurde demnach richtig berechnet.

Berechne, nach wie viel Stunden die Kerze nur noch $3 cm$ lang ist.
Stunden

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Setze in die Funktionsgleichung für $y$ den Wert $3$ ein und löse nach $x$ auf.
$y$ $=$ $18 - 1,5 \cdot x$
↓
$y = 3$ einsetzen
$3$ $=$ $18 - 1,5 \cdot x$ $+ 1,5 \cdot x$
↓
Terme mit $x$ auf die linke Gleichungsseite
$3 + 1,5 \cdot x$ $=$ $18$ $- 3$
↓
alle Zahlen auf die rechte Gleichungsseite
$1,5 \cdot x$ $=$ $15$ $: 1,5$
$x$ $=$ $\frac{15}{1,5}$
$=$ $10$
Antwort: Nach $10$ Stunden hat die Kerze noch eine Länge von $3 cm$ .
2
Ein Wasserversorger berechnet $1,50 €$ pro $m^{3}$ Wasser (Verbrauchskosten). Zusätzlich muss der Kunde eine monatliche Grundgebühr in Höhe von 6 € bezahlen.
Monatlich ergeben sich die Gesamtkosten aus der Summe der Verbrauchskosten und der Grundgebühr.
Ergänze die Tabelle.
Wasserverbrauch (in m³)
0
1
2
3
7,8
15
20
Verbrauchskosten (in €)
Gesamtkosten (in €)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Die Gesamtkosten berechnest du als Summe der Wasserverbrauchskosten pro $m^{3}$ und der Grundgebühr. (Auch wenn kein Wasser verbraucht wird, muss die Grundgebühr bezahlt werden.)
0 $m^{3}$ kostet $0 \cdot 1,50 €$ plus Grundgebühr 6 € $\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 0 \cdot 1,50 € + 6 € = 6 €$
1 $m^{3}$ kostet $1 \cdot 1,50 €$ plus Grundgebühr 6 € $\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 1 \cdot 1,50 € + 6 € = 7,50 €$
2 $m^{3}$ kosten $2 \cdot 1,50 €$ plus Grundgebühr 6 € $\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 2 \cdot 1,50 € + 6 € = 9 €$
Entsprechend berechnest du die anderen Werte in der Tabelle.
Die vollständige Tabelle sieht folgendermaßen aus:
Wasserverbrauch (in m³)
0
1
2
3
7,8
15
20
Verbrauchskosten (in €)
0
1,50
3,00
4,50
11,70
22,50
30,00
Gesamtkosten (in €)
6,00
7,50
9,00
10,50
17,70
28,50
36,00

Zeichne den Graphen der Funktion $f$ :
Wasserverbrauch $x$ (in $m^{3}$ ) $\mapsto$ Gesamtkosten $y$ (in €)
Bestimme auch die Funktionsgleichung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Graph der Funktion $f$
Der Tabelle kannst du die Koordinaten von $2$ Punkten entnehmen, z.B. $P (0 | 6)$ und $Q (20 | 36)$ .
Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie mit einer Halbgeraden, die im Punkt $P$ beginnt.
Anmerkung: Es gibt keinen negativen Wasserverbrauch. Deshalb beginnt der Graph der Funktion $f$ im Punkt $P$ .
Bestimmung der Funktionsgleichung:
1 $m^{3}$ Wasser kostet $1 \cdot 1,50 €$ plus Grundgebühr 6 € $\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 1 \cdot 1,50 € + 6 €$
2 $m^{3}$ kosten $2 \cdot 1,50 €$ plus Grundgebühr 6 € $\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = 2 \cdot 1,50 € + 6 €$
........
$x$ $m^{3}$ kosten $x \cdot 1,50 €$ plus Grundgebühr 6 € $\Rightarrow$ Gesamtkosten: $y = x \cdot 1,50 € + 6 €$
Diese Überlegungen führen dich zur Funktionsgleichung: $y = 1,5 \cdot x + 6$
Antwort: Die Funktionsgleichung lautet: $y = 1,5 \cdot x + 6$

Wasserverbrauch (in m³)	0	1	2	3	7,8	15	20
Verbrauchskosten (in €)	0	1,50	3,00	4,50	11,70	22,50	30,00
Gesamtkosten (in €)	6,00	7,50	9,00	10,50	17,70	28,50	36,00

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$y$	$=$	$18 - 1,5 \cdot x$
	↓	$x = 5$ einsetzen
	$=$	$18 - 1,5 \cdot 5$
	$=$	$18 - 7,5$
	$=$	$10,5$

$y$	$=$	$18 - 1,5 \cdot x$
	↓	$x = 8$ einsetzen
	$=$	$18 - 1,5 \cdot 8$
	$=$	$18 - 12$
	$=$	$6$

$y$	$=$	$18 - 1,5 \cdot x$
	↓	$y = 3$ einsetzen
$3$	$=$	$18 - 1,5 \cdot x$	$+ 1,5 \cdot x$
	↓	Terme mit $x$ auf die linke Gleichungsseite
$3 + 1,5 \cdot x$	$=$	$18$	$- 3$
	↓	alle Zahlen auf die rechte Gleichungsseite
$1,5 \cdot x$	$=$	$15$	$: 1,5$
$x$	$=$	$\frac{15}{1,5}$
	$=$	$10$

Aufgaben zu Funktionen mit Gleichungen der Form y=mx+t

Graph der Funktion f

Funktionsgleichung

Setze x=5 in die Funktionsgleichung ein.

Setze x=8 in die Funktionsgleichung ein.

Setze in die Funktionsgleichung für y den Wert 3 ein und löse nach x auf.

Graph der Funktion f

Bestimmung der Funktionsgleichung:

Graph der Funktion $f$

Setze $x = 5$ in die Funktionsgleichung ein.

Setze $x = 8$ in die Funktionsgleichung ein.

Setze in die Funktionsgleichung für $y$ den Wert $3$ ein und löse nach $x$ auf.

Graph der Funktion $f$