Aufgaben zur ungefähren Berechnung von Quadratzahlen und Quadratwurzeln

1
Überlege dir zwei natüliche Zahlen, zwischen denen $\sqrt{37}$ liegt. Versuche dabei so nah wie möglich an $\sqrt{37}$ heran zu kommen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$37$ liegt zwischen den Quadratzahlen $36 = 6^{2}$ und $49 = 7^{2}$ .
$\sqrt{37}$ liegt also zwischen $\sqrt{36} = 6$ und $\sqrt{49} = 7$ .
Überlege zwischen welchen Quadratzahlen die 37 liegt.
2
Du hast deinen Taschenrechner vergessen und brauchst das Ergebnis von $\sqrt{56}$ . Schätze den Wert durch geschicktes Überlegen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelziehen
Gesucht ist das Ergebnis von $\sqrt{56}$ , also eine Zahl, die man mit sich selbst malnimmt und dann $56$ erhält. $56$ ist nun allerdings keine Quadratzahl, die man auswendig kennt. Doch es gibt Quadratzahlen, die in der Nähe von $56$ liegen.
$49 = 7 \cdot 7$
$64 = 8 \cdot 8$
$56$ liegt zwischen den Quadratzahlen $49$ und $64$ . Das bedeutet, dass der Wert von $\sqrt{56}$ zwischen $7$ und $8$ liegen muss.
Die Quadratzahlen $49$ und $64$ sind ungefähr gleich weit weg von $56$ . Aus diesem Grund liegt der Wert der Wurzel in der Nähe von $7,5$ .
$\sqrt{56} \approx 7,5$
3
Sara und ihr älterer Bruder Markus führen ein Gespräch nach der Schule. Dabei bringt Markus seine kleine Schwester zum Nachdenken. Kannst du Sara helfen die Aufgabe zu lösen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelziehen
Die benachbarten Quadratzahlen von 20 sind:
$16 < 20 < 25 16 = 4 \cdot 4 = 4^{2} < 20 < 5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$
Die Zahl 20 liegt zwischen den Quadratzahlen 16 und 25. Also gilt für die Quadratwurzel von 20:
$\sqrt{4^{2}} < \sqrt{20} < \sqrt{5^{2}} 4 < \sqrt{20} < 5$
Die Zahl $\sqrt{𝟐𝟎}$ liegt zwischen den natürlichen Zahlen 4 und 5.
Da die Quadratzahlen 16 und 25 ungefähr gleich weit von der 20 entfernt sind, liegt die $\sqrt{20}$ ungefähr in der Mitte von 4 und 5.
$\sqrt{𝟐𝟎} \approx 𝟒,𝟓$
Die Quadratwurzel von 20 ist ungefähr 4,5.
In dieser Aufgabe sollst du näherungsweise $\sqrt{20}$ bestimmen. Das heißt, du suchst eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 20 ergibt. Da jedoch 20 keine Quadratzahl ist, ist es geschickt sich zunächst einmal zu überlegen zwischen welchen Quadratzahlen die 20 liegt.

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