Aufgaben zum Vektorbegriff

Wie gut kennst du dich aus? Teste hier dein Wissen zu den Eigenschaften von Vektoren und besonderen Vektoren.

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Wie kann man alle Einheitsvektoren der Ebene finden und ausdrücken?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einheitsvektoren
Du erhältst zum Beispiel alle Einheitsvektoren der Ebene, in dem du den Einheitskreis (Radius 1) um den Ursprung betrachtest.
Dies ist so, da der Kreis die Menge aller Punkte ist, die von einem bestimmten Punkt den gleichen Abstand haben.
Grafisch sieht das so aus:
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Überlege dir, welche Form entsteht, wenn du von einem Punkt aus in jede Richtung 1 Längeneinheit abträgst.
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Bestimme die gesuchten Vektoren
Bestimme den Ortsvektor von A(4|1|-1).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ortsvektor
Übertrage in einen Spaltenvektor:
$\vec{A} = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
Dieser Vektor verläuft vom Ursprung zum Punkt A.

Bestimme den Verbindungsvektor von A(1|0|1) nach B(3|3|3).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
Subtrahiere "Spitze minus Fuß":
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} 3 - 1 \\ 3 - 0 \\ 3 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 2 \end{array})$

Bestimme den Gegenvektor von $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenvektor
Drehe alle Vorzeichen um:
$- \vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 2 \end{array})$

Bestimme den Ortsvektor von B, wenn $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})$ und $A (- 2 | 1 | 2)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
Der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten $A (a_{1} | a_{2} | a_{3})$ und $B (b_{1} | b_{2} | b_{3})$ ist $\vec{A B} = (\begin{array}{c} b_{1} - a_{1} \\ b_{2} - a_{2} \\ b_{3} - a_{3} \end{array})$ . Somit gilt für den Punkt B:
$(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} b_{1} - (- 2) \\ b_{2} - 1 \\ b_{3} - 2 \end{array})$
also:
$1 = b_{1} + 2 \Leftrightarrow b_{1} = - 1$
$0 = b_{2} - 1 \Leftrightarrow b_{2} = 1$
$3 = b_{3} - 2 \Leftrightarrow b_{3} = 5$
der Ortsvektor ist also $\vec{B} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 5 \end{array})$ und die Punktkoordinaten sind $B (- 1 | 1 | 5)$ .

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